Sujet bac ES - Annale mathématiques 2013

Une usine de somposants électriques dispose de deux unités de production $A$ et $B.$
La production journalière de l’unité $A$ est de 600 pièces, celle de l’unité $B$ est de 900 pièces.

On prélève au hasard un composant de la production d’une journée.

La probabilité qu’un composant présente un défaut de soudure sachant qu’il est produit par l’unité $A$ est égale à 0,014. La probabilité qu’un composant présente un défaut de soudure sachant qu’il est produit par l’unité $B$ est égale à 0,024. On note :

• $D$ l'évènement  : «  Le composant présente un défaut de soudure. »
• $A$ l'évènement  : «  Le composant est produit par l’unité $A$. »
• $B$ l'évènement  : «  Le composant est produit par l’unité $B$. »

On note $p(D)$ la probabilité de l'évènement $D$ et $p_A(D)$ la probabilité de l'évènement $D$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé.

1)

2) Recopier et compléder l'arbre de probabilités ci-dessous.

3)

On suppose que les composants doivent présenter une résistance globale comprise entre 195 et 205 ohms. On admet que la variable aléatoire $R$ qui , à un composant prélevé au hasard dans la production, associe sa résistance, suit une loi normale $\mu=200,5$ et d’écart-type=3,5.
On prélève un composant dans la production.

Les résultats seront arrondis à 0,00001 près, ils pourront être obtenus à l'aide de la calculatrice ou de la table fournie en annexe 1.

1) Calculer la probabilité $p_1$ de l'évènement : «  la résistance du composant est supérieure à 211 ohms. »

2) Calculer la probabilité $p_2$ de l'évènement : «  la résistance du composant est comprise dans l’intervalle de tolérance indiqué dans l'énoncé. »

3) On prélève au hasard dans la production tros composants. On suppose que les prélèvements sont indépendants l’un d el'autre et que la probabilité qu’un composant soit accepté est égale à $0,84.$
Déterminer la probabilité $p$ qu’exactement deux des trois composants prélevés soient acceptés.

Pour chacune des questions posées, une proposition est faite. il est demandé de déterminer si cette proposition est vraie ou fausse, en justifiant.

Un étudiant a travaillé durant l'été et dispose d’un capital de 2500 euros.

À partir du premier septembre 2013, il place son capital $c_0=2500$ sur un compte rapportant 0,2 % d’intêrets composés par mois et il loue une chambre qui lui coûte 425 euros par mois.

On note $c_n$ le capital disponible, exprimé en euros, au début de chaque mois. Par exemple le capital disponible au début du mois d’octobre vaudra : $c_1=1,002 c_0-425=2080$ euros.

L'année universitaire s’achève à la fin du mois de juin 2014.

On admet que la suite des capitaux $(c_n)$ est décrite par les relations :

• $(c_0)=2500$
• Pour tout entier naturel $n$, $c_{n+1}=1,002 \times c_n -425$

PROPOSITION : Sans apport supplémentaire l'étudiant sera à découvert à partir du mois de mars 2014.

Sur $I=]0\ ;+\infty[$, on définit la fonction $f$ par $f(x)=2x+1-\text{ln}\ x.$

PROPOSITION : $f$ est une fonction convexe sur $I$.

On définit sur l’intervalle $I=]0\ ;+\infty[$, $F(x)= 2x \text{ln}\ x-2x+5$. On a effectué à l'aide d’un logiciel de calcul formel les séquences suivantes :

PROPOSITION : $F$ est une primitive de la fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=2\text{ln}\ x$.

$X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale d’espérance $\mu=0$ et d’écart-type $\sigma=0,6$.

PROPOSITION : $P(-0,6\leq X \leq 0,6)\approx 0,68$

Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l’industrie automobile. On suppose que toute production est vendue.

L’entreprise peut fabriquer entre 0 et 3600 poulies par semaine. On note $x$ le nombre de milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine. ($x$ varie donc dans l’intervalle $[0\ ;3,6]$).

Le bénéfice hebdomadaire est noté $B(x)$, il est exprimé en milliers d’euros.

L’objet de cet exercice est d'étudier cette fonction $B$. Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l'autre.

On a représenté en annexe 2, la fonction $B$ dans un repère du plan.

Chaque résultat sera donné à cent poulies près ou à cent euros près suivant les cas.

Les traits utiles à la compréhension du raisonnement seront laissés sur le graphique et une réponse écrite sur la copie sera attendue pour chaque question posée.

1) Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou égale à 13000 euros.

2) Quel est le bénéfice maximum enviasgeable pour l’entreprise ?

Pour quel nombre $N$ de poulies fabriquées et vendues semble t’il être réalisé ?

Le bénéfice hebdomadaire noté $B(x)$, exprimé en milliers d’euros vaut $B(x)=-5+(4-x)e^x$

1)

c) Dresser le tableau de variation de la fonction $B$ sur l’intervalle $I$. On indiquera les valeurs de la fonction $B$ aux bornes de l’intervalle.

2)

Dans cet exercice on étudie l'évolution de la dépense des ménages français en programmes audiovisuels (redevance audiovisuelle, billets de cinéma, vidéos.;.)

On note $D_n$ la dépense des ménages en programmes audiovisuels, exprimée en milliard d’euros, au cours de l'année $1995+n$

Soit $f$ la fonction défine pour tout nombre réel $x$, par $f(x)=-0,0032x^3+0,06x^2+5.$
Pour tout entier $n$ vérifiant $0\leq n \leq20$ on décide de modéliser la dépense des ménages français en programmes audiovisuels exprimée en milliards d’euros, au cours de l'année $n$ par le nombre $f(n)$.

1) Calculer $f(5)$

2) Déterminer le pourcentage $p$, de l’erreur commise en remplaçant $D_5$ par $f(5).$
(Le pourcentage d’erreur est obtenu par le calcul : $p=\frac {valeur réelle-valeur estimée}{valeur réelle}$ et le résultat sera donné à 0,1 % près.)

3) En utilisant la fonction $f$, quelle estimation de la dépense totale peut-on effectuer pour l'année $2013$ ?

4) On veut utiliser la fonction $f$ pour estimer la dépense moyenne des ménage entre le 1^er janvier $1995$ et le $1^{er}$ janvier $2015$.

On calcule pour cela $M=\frac {1}{20}\int ^{20}_{0} f(x) dx$

Annexes- à rendre avec la copie

Annexe 1

Extrait de la table de la loi normale pour $\mu=200,5$ et $\sigma=3,5$

Annexe 2