Sujet bac ES - Annale mathématiques 2015 - spécialité

Le service marketing d’un magasin de téléphonie a procédé à une étude du comportement de sa clientèle. Il a ainsi observé que celle-ci est composée de 42 % de femmes. 35 % des femmes qui entrent dans le magasin y effectuent un achat, alors que cette proportion est de 55 % pour les hommes.

Une personne entre dans le magasin. On note :

• $F$ l’événement : « La personne est une femme » ;
• $R$ l’événement : « La personne repart sans rien acheter » ;

Pour tout événement $A$, on note $\overline A$ son événement contraire et $p(A)$ sa probabilité.

Dans tout l’exercice, donner des valeurs approchées des résultats au millième. Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.

1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.

2. Calculer la probabilité que la personne qui est entrée dans le magasin soit une femme et qu’elle reparte sans rien acheter.

3. Montrer que $p(R)=0,534$.

Un client du magasin s’inquiète de la durée de vie du téléphone de type $T_1$ qu’il vient de s’offrir.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque téléphone mobile de type $T_1$ prélevé au hasard dans la production, associe sa durée de vie, en mois.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d’espérance $\mu=48$ et d’écart-type $\sigma=10$.

1. Justifier que la probabilité que le téléphone de type $T_1$ prélevé fonctionne plus de 3 ans, c’est-à-dire 36 mois, est d’environ 0,885.

2. On sait que le téléphone de type $T_1$ prélevé a fonctionné plus de 3 ans. Quelle est la probabilité qu’il fonctionne moins de 5 ans ?

Le gérant du magasin émet l’hypothèse que 30 % des personnes venant au magasin achètent uniquement des accessoires (housse, chargeur…).

Afin de vérifier son hypothèse, le service marketing complète son étude.

1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de personnes ayant uniquement acheté des accessoires dans un échantillon de taille 1 500.

2. Le service marketing interroge un échantillon de 1 500 personnes. L’étude indique que 430 personnes ont acheté uniquement des accessoires. Doit-on rejeter au seuil de 5 % l’hypothèse formulée par le gérant ?

On considère le graphe $G$ ci-dessous :

1. Déterminer en justifiant si ce graphe :

2. On note M la matrice adjacente associée à ce graphe en prenant les sommets dans l’ordre alphabétique.
On donne : $M=\pmatrix{0&5&2&3&2&2&1&3 \\ 5&4&3&2&5&9&6&8 \\ 2&3&2&1&6&6&3&3 \\ 3&2&1&0&5&3&2&2 \\2&5&6&5&4&8&3&9 \\ 2&9&6&3&8&6&3&9 \\ 1&6&3&2&3&3&2&6 \\ 3&8&3&2&9&9&6&6}$

Donner, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant $E$ à $B$.

Partie B

Un club alpin souhaite proposer à ses membres des randonnées de plusieurs jours dans les Alpes. À cet effet, huit refuges notés $A, B, C, D, E, F, G$ et $H$ ont été sélectionnés. Le graphe $G$ de la partie A permet de visualiser les différents itinéraires possibles, les sommets représentant les refuges et les arêtes schématisant tous les sentiers de randonnée balisés les reliant.

1. D’après l’étude effectuée dans la partie A, le club alpin est-il en mesure de proposer :

2. Le graphe $G$ est complété ci-dessous par la longueur en kilomètres de chacun des sentiers.

Le club alpin désire aussi proposer à ses membres l’itinéraire le plus court reliant $A$ à $H$.
Déterminer cet itinéraire et en préciser la longueur en kilomètres.

La courbe $(C)$ ci-dessous représente dans un repère orthogonal une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[−4\ ; 3]$. Les points $A$ d’abscisse $−3$ et $B(0\ ; 2)$ sont sur la courbe $(C).$
Sont aussi représentées sur ce graphique les tangentes à la courbe $(C)$ respectivement aux points $A$ et $B$, la tangente au point $A$ étant horizontale. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.

Les PARTIES A et B sont indépendantes.

1. Par lecture graphique, déterminer :

2. La fonction $f$ est définie sur $[−4\ ; 3]$ par $f(x)=a+(x+b)e^{-x}$ où $a$ et $b$ sont deux réels que l’on va déterminer dans cette partie.

On admet que la fonction $f$ est définie sur $[−4\ ; 3]$ par $f(x)= −2 + (𝑥 + 4)e^{-x}$.

1. Justifier que, pour tout réel $x$ de $[−4\ ; 3]$, $f’(x)=(-x-3)e^{-x}$ et en déduire le tableau de variation de $f$ sur $[−4\ ; 3]$.

2. Montrer que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[−3\ ; 3]$, puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à $0,01$ près par défaut.

3. On souhaite calculer l’aire $S$, en unité d’aire, du domaine délimité par la courbe $(C)$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=-3$ et $x=0$.

À l’aide de ces résultats, calculer la valeur exacte de l’aire $S$ puis sa valeur arrondie au centième.

On considère la fonction $f$ définie sur $]0\ ; +\infty[$ par $f(x)=3x-3x\text{ln}(x)$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé et $T$ la tangente à $C_f$ au point d’abscisse $1$.
Quelle est la position relative de $C_f$ par rapport à $T$ ?