Sujet bac ES - Annales mathématiques 2015

Le service marketing d’un magasin de téléphonie a procédé à une étude du comportement de sa clientèle. Il a ainsi observé que celle-ci est composée de 42 % de femmes. 35 % des femmes qui entrent dans le magasin y effectuent un achat, alors que cette proportion est de 55 % pour les hommes.

Une personne entre dans le magasin. On note :

• $F$ l’événement : « La personne est une femme » ;
• $R$ l’événement : « La personne repart sans rien acheter » ;

Pour tout événement $A$, on note $\overline A$ son événement contraire et $p(A)$ sa probabilité.

Dans tout l’exercice, donner des valeurs approchées des résultats au millième. Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.

1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.

2. Calculer la probabilité que la personne qui est entrée dans le magasin soit une femme et qu’elle reparte sans rien acheter.

3. Montrer que $p(R)=0,534$.

Un client du magasin s’inquiète de la durée de vie du téléphone de type $T_1$ qu’il vient de s’offrir.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque téléphone mobile de type $T_1$ prélevé au hasard dans la production, associe sa durée de vie, en mois.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d’espérance $\mu=48$ et d’écart-type $\sigma=10$.

1. Justifier que la probabilité que le téléphone de type $T_1$ prélevé fonctionne plus de 3 ans, c’est-à-dire 36 mois, est d’environ 0,885.

2. On sait que le téléphone de type $T_1$ prélevé a fonctionné plus de 3 ans. Quelle est la probabilité qu’il fonctionne moins de 5 ans ?

Le gérant du magasin émet l’hypothèse que 30 % des personnes venant au magasin achètent uniquement des accessoires (housse, chargeur…).

Afin de vérifier son hypothèse, le service marketing complète son étude.

1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de personnes ayant uniquement acheté des accessoires dans un échantillon de taille 1 500.

2. Le service marketing interroge un échantillon de 1 500 personnes. L’étude indique que 430 personnes ont acheté uniquement des accessoires. Doit-on rejeter au seuil de 5 % l’hypothèse formulée par le gérant ?

Le fonctionnement de certaines centrales géothermiques repose sur l’utilisation de la chaleur du sous-sol. Pour pouvoir exploiter cette chaleur naturelle, il est nécessaire de creuser plusieurs puits suffisamment profonds.

Lors de la construction d’une telle centrale, on modélise le tarif pour le forage du premier puits par la suite $(u_n)$, définie pour tout entier naturel $n$ non nul, par : $u_n=2000 \times 1,008^{n-1}$ où $u_n$ représente le coût en euros du forage de la n-ième dizaine de mètres.

On a ainsi $u_1= 2 000$ et $u_2=2 016$, c’est-à-dire que le forage des dix premiers mètres coûte 2000 euros, et celui des dix mètres suivants coûte 2 016 euros.

Dans tout l’exercice, arrondir les résultats obtenus au centième.

1. Calculer $u_3$ puis le coût total de forage des 30 premiers mètres.

2. Pour tout entier naturel $n$ non nul :

3. On considère l’algorithme ci-dessous :

La valeur de $n$ saisie est 5.

4. On note $S_n= u_1+u_2+…+u_n$ la somme des $n$ premiers termes de la suite $(u_n)$, $n$ étant un entier naturel non nul. On admet que :

Le budget consenti pour le forage du premier puits est de $125 000$ euros. On souhaite déterminer la profondeur maximale du puits que l’on peut espérer avec ce budget.

La courbe $(C)$ ci-dessous représente dans un repère orthogonal une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[−4\ ; 3]$. Les points $A$ d’abscisse $−3$ et $B(0\ ; 2)$ sont sur la courbe $(C).$
Sont aussi représentées sur ce graphique les tangentes à la courbe $(C)$ respectivement aux points $A$ et $B$, la tangente au point $A$ étant horizontale. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.

Les PARTIES A et B sont indépendantes.

1. Par lecture graphique, déterminer :

2. La fonction $f$ est définie sur $[−4\ ; 3]$ par $f(x)=a+(x+b)e^{-x}$ où $a$ et $b$ sont deux réels que l’on va déterminer dans cette partie.

On admet que la fonction $f$ est définie sur $[−4\ ; 3]$ par $f(x)= −2 + (𝑥 + 4)e^{-x}$.

1. Justifier que, pour tout réel $x$ de $[−4\ ; 3]$, $f’(x)=(-x-3)e^{-x}$ et en déduire le tableau de variation de $f$ sur $[−4\ ; 3]$.

2. Montrer que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[−3\ ; 3]$, puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à $0,01$ près par défaut.

3. On souhaite calculer l’aire $S$, en unité d’aire, du domaine délimité par la courbe $(C)$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=-3$ et $x=0$.

À l’aide de ces résultats, calculer la valeur exacte de l’aire $S$ puis sa valeur arrondie au centième.

On considère la fonction $f$ définie sur $]0\ ; +\infty[$ par $f(x)=3x-3x\text{ln}(x)$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé et $T$ la tangente à $C_f$ au point d’abscisse $1.$
Quelle est la position relative de $C_f$ par rapport à $T$ ?