Sujet bac L - Annale mathématiques 2017 - spécialité

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au millième près.

1. Un supermarché dispose de plusieurs caisses. Un client qui se présente à une caisse doit attendre un certain temps $T_1$ avant d’être pris en charge par le caissier. On considère que ce temps d’attente $T_1$, exprimé en minute, est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0\ ; 12]$.
a. Quelle est la probabilité qu'un client attende au moins 5 minutes avant d'être pris en charge ?
b. Quel est le temps moyen d'attente à une caisse ?

2. Le gérant du magasin décide de mettre à disposition des clients des caisses automatiques, de façon à réduire le temps d'attente pour les clients ayant un panier contenant peu d'articles.
Le temps d'attente $T_2$, exprimé en minute, à chacune de ces caisses automatiques est modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne 5 et d’écart type 1,5. Calculer la probabilité que le temps d’attente à une caisse automatique soit compris entre 0,75 minute et 6 minutes.

3. Ces caisses automatiques tombent souvent en panne. On donne les informations suivantes.

• Le nombre de caisses automatiques est $n = 10$.
• La probabilité qu’une caisse automatique tombe en panne pendant une journée donnée est $p = 0,1$.
• Une panne constatée sur une caisse automatique n'influence pas les autres caisses automatiques.

Soit $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de caisses automatiques qui tombent en panne pendant une journée donnée.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Préciser ses paramètres.
b. Calculer la probabilité pour qu’aucune caisse automatique ne tombe en panne pendant une journée donnée.

4. Sur la devanture de son magasin, le gérant du supermarché affiche : « Plus de 90 % des clients de notre magasin sont satisfaits par la mise en place de nos caisses automatiques. »
Une association de consommateurs souhaite examiner cette affirmation. Pour cela, elle réalise un sondage : 860 clients sont interrogés, et 763 d’entre eux se disent satisfaits par la mise en place de ces caisses automatiques.
Cela remet-il en question l’affirmation du gérant ?

Au 1^er janvier 2017, une association sportive compte 900 adhérents. On constate que chaque mois :

• 25 % des adhérents de l'association ne renouvellent pas leur adhésion ;
• 12 nouvelles personnes décident d’adhérer à l’association.

On modélise le nombre d'adhérents de l'association par la suite $(u_n)$ telle que $u_0 = 900$ et, pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=0,75u_n+12$$ Le terme $u_n$ donne ainsi une estimation du nombre d’adhérents de l'association au bout de $n$ mois.

1. Déterminer une estimation du nombre d’adhérents au 1^er mars 2017.

2. On définit la suite $(v_n)$ par $v_n=u_n-48$ pour tout entier naturel $n$.
a. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,75.
b. Préciser $v_0$ et exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $$u_n=852\times 0,75^n+48$$

3. La présidente de l’association déclare qu’elle démissionnera si le nombre d’adhérents devient inférieur à 100. Si on fait l’hypothèse que l'évolution du nombre d'adhérents se poursuit de la même façon, faudra-t-il que la présidente démissionne ? Si oui, au bout de combien de mois ?

Chaque adhérent verse une cotisation de 10 euros par mois. Le trésorier de l'association souhaite prévoir le montant total des cotisations pour l’année 2017.
Le trésorier souhaite utiliser l’algorithme suivant dans lequel la septième et la dernière ligne sont restées incomplètes (pointillés).

1. Recopier et compléter l’algorithme de façon qu’il affiche le montant total des cotisations de l’année 2017.

2. Quelle est la somme totale des cotisations perçues par l’association pendant l’année 2017 ?

Une entreprise souhaite utiliser un motif décoratif pour sa communication.
Pour réaliser ce motif, on modélise sa forme à l'aide de deux fonctions $f$ et $g$ définies par : pour tout réel $x$ de $[0\ ; 1]$, $f(x) = (1 - x)e^{3x}$ et $g(x)=x^2-2x+1$. Leurs courbes représentatives seront notées respectivement $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal C_g$.

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants.

Lecture : la dérivée de la fonction $f$ est donnée par $f'(x)=-3xe^{3x}+2e^{3x}$, ce qui, après factorisation, donne $f'(x)=(-3x + 2)e^{3x}$.

1. Étudier sur $[0\ ; 1]$ le signe de la fonction dérivée $f'$, puis donner le tableau de variation de $f$ sur $[0\ ; 1]$ en précisant les valeurs utiles.

2. La courbe $\mathcal C_f$ possède un point d’inflexion. Déterminer ses coordonnées.

On se propose de calculer l’aire de la partie grisée sur le graphique.

1. Vérifier que les points $A$ et $B$ de coordonnées respectives $(1\ ; 0)$ et $(0\ ; 1)$ sont des points communs aux courbes $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$.

2. On admet que : pour tout $x$ dans $[0\ ; 1]$, $f(x)-g(x)=(1-x)(e^{3x}-1+x)$.
a. Justifier que pour tout $x$ dans $[0\ ; 1]$, $e^{3x}-1\geq 0$.
b. En déduire que pour tout $x$ dans $[0\ ; 1]$, $e^{3x}- 1 + x\geq 0$.
c. Étudier le signe de $f(x)-g(x)$ pour tout $x$ dans $[0\ ; 1]$.

3. a. Calculer $\int ^1 _0 g(x) \text{d}x$
b. On admet que : $$\int^1_0 f(x)\text{d}x=\dfrac{e^3-4}{9}$$ Calculer l’aire $S$, en unité d’aire, de la partie grisée. Arrondir le résultat au dixième.

Dans cet exercice, on considère le premier chiffre des entiers naturels non nuls, en écriture décimale. Par exemple, le premier chiffre de 2017 est 2 et le premier chiffre de 95 est 9.
Dans certaines circonstances, le premier chiffre d’un nombre aléatoire non nul peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ telle que pour tout entier $c$ compris entre 1 et 9, $$P(X=c)=\dfrac{\text{ln}(c+1)-\text{ln}(c)}{\text{ln}(10)}$$

Cette loi est appelée loi de Benford.

1. Que vaut $P(X=1)$ ?

2. On souhaite examiner si la loi de Benford est un modèle valide dans deux cas particuliers.
a. Premier cas.
Un fichier statistique de l’INSEE indique la population des communes en France au 1^er janvier 2016 (champ : France métropolitaine et départements d’outre-mer de la Guadeloupe, de la Guyane, de la Martinique et de la Réunion).
À partir de ce fichier, on constate qu’il y a 36 677 communes habitées. Parmi elles, il y a 11 094 communes dont la population est un nombre qui commence par le chiffre 1.
Cette observation vous semble-t-elle compatible avec l’affirmation : « le premier chiffre de la population des communes en France au 1^er janvier 2016 suit la loi de Benford » ?
b. Deuxième cas.
Pour chaque candidat au baccalauréat de la session 2017, on considère sa taille en centimètres.
On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au premier chiffre de la taille en centimètres d’un candidat pris au hasard.
La loi de Benford vous semble-t-elle une loi adaptée pour $X$ ?