Cours : Les parallélogrammes particuliers

Prérequis :

• cours de 6^e de géométrie sur la médiatrice ;
• cours de 5^e sur les parallélogrammes ;
• cours de 5^e sur les symétries axiale et centrale.

Parallélogramme

Définition

Parallélogramme :

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Cette définition nous permet de donner une première propriété et sa réciproque.

Propriété

• Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.
• Réciproquement, si les côtés opposés d’un quadrilatère sont parallèles deux à deux, alors c’est un parallélogramme.

Rappelons maintenant les propriétés d’un parallélogramme.

Propriété

Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors :

• ses côtés opposés sont de même longueur ;
• ses angles opposés sont de même mesure ;
• ses diagonales se coupent en leur milieu, qui est le centre de symétrie du parallélogramme.

Les réciproques de ces propriétés permettent de montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme.

Propriété

Informations sur les côtés

• Si les côtés opposés d’un quadrilatère (non croisé) sont de même longueur, alors c’est un parallélogramme.

Côtés opposés de même longueur

• Si un quadrilatère (non croisé) a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c’est un parallélogramme.

Deux côtés opposés de même longueur et parallèles

Informations sur les diagonales

• Si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu, alors c’est un parallélogramme.

Diagonales qui se coupent en leur milieu

Astuce

Si une des conditions données ci-dessus n’est pas vérifiée dans un quadrilatère, cela suffit pour conclure que ce n’est pas un parallélogramme.
Ainsi, pour affirmer qu’un quadrilatère n’est pas un parallélogramme, il suffit de montrer l’une des propositions suivantes :

• deux côtés opposés du quadrilatère ne sont pas parallèles ;
• deux côtés opposés du quadrilatère ne sont pas de même longueur ;
• les diagonales du quadrilatère n’ont pas le même milieu.

Prenons un exemple pour montrer comment utiliser ces propriétés pour reconnaître un parallélogramme.

Exemple

On considère trois points distincts et non alignés $A$, $B$ et $O$, ainsi que les points $C$ et $D$ tels que :

• $C$ est le symétrique de $A$ par rapport à $O$ ;
• $D$ est le symétrique de $B$ par rapport à $O$.

Construction des points C et D

• On cherche à déterminer la nature du quadrilatère $ABCD$.

Méthode 1 : Avec les côtés

Puisque, par la symétrie de centre $O$, $C$ est l’image de $A$ et $D$ celle de $B$, le segment $[CD]$ est le symétrique du segment $[AB]$ par rapport à $O$.
Or, l’image d’un segment par une symétrie centrale est un segment parallèle et de même longueur.
Donc $[AB]$ et $[CD]$ sont parallèles et de même longueur.

Côtés opposés parallèles et de même longueur

$ABCD$ est un quadrilatère (non croisé) dont deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

• Donc $ABCD$ est un parallélogramme.

Méthode 2 : Avec les diagonales

Puisque $C$ est le symétrique de $A$ par rapport à $O$, $O$ est le milieu du segment $[AC]$.
De la même façon, puisque $D$ est le symétrique de $B$ par rapport à $O$, $O$ est le milieu du segment $[BD]$.
Les segments $[AC]$ et $[BD]$ se coupent donc en $O$, qui est leur milieu.

Diagonales qui se coupent en leur milieu

Les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ du quadrilatère $ABCD$ ont le même milieu.

• Donc $ABCD$ est un parallélogramme.

Astuce

En mathématiques, comme dans l’exemple précédent, il existe souvent plusieurs façons de résoudre un problème. Et, plus vous avancerez dans vos études, plus vous apprendrez de notions, et donc plus nombreuses seront les façons de faire.
Si rien dans l’énoncé n’exige une méthode particulière, soyez libre de choisir la méthode la plus efficace, ou celle avec laquelle vous êtes le plus à l’aise, ou une autre encore, tant qu’elle est juste, bien sûr.
Et, si elle ne fonctionne pas, ne vous inquiétez pas, se tromper fait partie de la recherche mathématique. Réfléchissez à pourquoi elle n’a pas fonctionné, à ce qui vous manque pour conclure, cela peut vous aider à identifier une méthode qui conviendra.

Nous allons maintenant nous intéresser aux parallélogrammes particuliers que sont les rectangles, les losanges et les carrés.

À retenir

Les rectangles, losanges et carrés sont des parallélogrammes, ils vérifient donc l’ensemble des propriétés que nous venons de voir, que nous ne répéterons pas systématiquement dans les parties suivantes.

Nous donnerons leurs propriétés remarquables et expliquerons comment les reconnaître, notamment à travers des petits exercices résolus.

Rectangle

Définition et propriétés

Définition

Rectangle :

Un rectangle est un quadrilatère ayant quatre angles droits.

Propriété

Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales ont le même milieu et sont de même longueur.

Voyons maintenant les propriétés à retenir pour pouvoir montrer qu’un quadrilatère est un rectangle.
Nous donnons aussi celles à connaître si l’on sait déjà que le quadrilatère considéré est un parallélogramme (soit par les données de l’exercice, soit parce qu’on l’aura montré au préalable).

Propriété

Informations sur les angles

Si un quadrilatère a trois (ou quatre) angles droits, alors c’est un rectangle.

• Si un parallélogramme a un angle droit, alors c’est un rectangle.

Informations sur les diagonales

Si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu et qu’elles sont de même longueur, alors c’est un rectangle.

• Si les diagonales d’un parallélogramme sont de même longueur, alors c’est un rectangle.

Explicitons ce que signifient, par exemple, celles concernant les angles.

• Si l’on sait, ou que l’on a montré, qu’un quadrilatère possède trois angles droits, alors on peut conclure directement qu’il s’agit d’un rectangle.
• Il est inutile de montrer que le quatrième angle est droit, car il le sera nécessairement.
• Si l’on sait, ou que l’on a montré, qu’un parallélogramme possède un angle droit, alors on peut conclure directement que c’est un rectangle.
• Il est inutile de montrer que les autres angles sont aussi droits, car ils le seront nécessairement.

Application

Énoncé

On considère un triangle $ABC$, isocèle en $C$, et son symétrique $A^{\prime}B^{\prime}C$ par rapport à $C$.

• Montrer que le quadrilatère $AB^{\prime}A^{\prime}B$ est un rectangle.
  En déduire ce qu’est le point $C$ pour $AB^{\prime}A^{\prime}B$.

Correction

On trace un triangle $ABC$ isocèle en C, puis on construit son symétrique par rapport à $C$ :

• l’image de $C$ est lui-même ;
• l’image $A^{\prime}$ de $A$ est telle que $C$ est le milieu de $[AA^{\prime}]$ ;
• l’image $B^{\prime}$ de $B$ est telle que $C$ est le milieu de $[BB^{\prime}]$.

• $C$ est le milieu de $[AA^{\prime}]$ et $[BB^{\prime}]$, donc :
  $AC=A^{\prime}C$ et $BC=B^{\prime}C$.
• De plus, $ABC$ est isocèle en $C$, donc : $AC=BC$.
• Nous en déduisons donc :

$$AC=A^{\prime}C=BC=B^{\prime}C$$

• Ainsi, les segments $[AA^{\prime}]$ et $[BB^{\prime}]$ sont de même longueur et se coupent en leur milieu.

• Le quadrilatère $AB^{\prime}A^{\prime}B$ est donc un rectangle.

$AB^{\prime}A^{\prime}B$ est un rectangle, donc un parallélogramme. Ainsi, le point d’intersection de ses diagonales est son centre de symétrie.

• $C$ est le centre de symétrie du rectangle $AB^{\prime}A^{\prime}B$.

Losange

Définition et propriétés

Définition

Losange :

Un losange est un quadrilatère ayant quatre côtés de même longueur.

Propriété

Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires et ont le même milieu.

Voici les propriétés à utiliser pour reconnaître un losange.

Propriété

Informations sur les côtés

Si les quatre côtés d’un quadrilatère sont de même longueur, alors c’est un losange.

• Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un losange.

Informations sur les diagonales

Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent perpendiculairement en leur milieu, alors c’est un losange.

• Si les diagonales d’un parallélogramme sont perpendiculaires, alors c’est un losange.

Application

Énoncé

On considère la figure suivante :

Sur cette figure :

• $\mathscr C_1$ et $\mathscr C_2$ sont deux cercles tous les deux de centre $O$ et de rayons différents ;
• $[AB]$ est un diamètre de $\mathscr C_1$ ;
• $[CD]$ est un diamètre de $\mathscr C_2$ tel que $[AB]$ et $[CD]$ sont perpendiculaires.
• Montrer que le quadrilatère $ACBD$ est un losange.

Correction

On peut commencer par tracer le quadrilatère $ACBD$ :

Astuce

$[AB]$ et $[CD]$ sont les diagonales du quadrilatère $ACBD$ auquel on s’intéresse. L’énoncé nous dit qu’ils sont perpendiculaires.

• Nous pensons donc à la propriété sur les diagonales d’un losange.
  Il reste seulement à montrer que ces diagonales ont le même milieu, puisque nous savons déjà qu’elles sont perpendiculaires.

Comme $[AB]$ et $[CD]$ sont des diamètres de deux cercles ayant le même centre O, et que $A$ et $B$ n’appartiennent pas à $(CD)$ :

• ils passent tous les deux par le centre $O$ de ces cercles et se coupent donc en $O$ ;
• on a les égalités suivantes :

$$\begin{aligned} OA&=OB \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [c’est le rayon de $\mathscr C_1$]}}} \\ OC&=OD \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [c’est le rayon de $\mathscr C_2$]}}} \end{aligned}$$

De plus, l’énoncé précise que $[AB]$ et $[CD]$ sont perpendiculaires.
Ainsi, $[AB]$ et $[CD]$, qui sont les diagonales du quadrilatère $ACBD$, se coupent perpendiculairement en leur milieu.

• Donc $ACBD$ est un losange.

Carré

Définition et propriétés

Définition

Carré :

Un carré est un quadrilatère ayant quatre côtés de même longueur et quatre angles droits.

Un carré est ainsi à la fois un rectangle et un losange, qui sont des parallélogrammes.

• Il a donc toutes leurs propriétés.

Propriété

Si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonales sont perpendiculaires, de même longueur et ont le même milieu.

Propriété

Informations sur les côtés et les angles

Si un quadrilatère a trois angles droits et deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un carré.

• Si un parallélogramme a un angle droit et deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un carré.
• Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un carré.
• Si un losange a un angle droit, alors c’est un carré.

Informations sur les diagonales

Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent perpendiculairement en leur milieu et sont de même longueur, alors c’est un carré.

• Si les diagonales d’un parallélogramme sont perpendiculaires et de même longueur, alors c’est un carré.
• Si les diagonales d’un rectangle sont perpendiculaires, alors c’est un carré.
• Si les diagonales d’un losange sont de même longueur, alors c’est un carré.

Astuce

Un carré a donc quatre côtés de même longueur et quatre angles droits.

• On dit que c’est un polygone régulier.

En effet, un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés sont de même longueur et tous les angles sont de même mesure.
Un autre exemple de polygone régulier est l’hexagone régulier : c’est un hexagone ayant six côtés de même longueur et dont les six angles sont de même mesure.

Hexagone régulier

Application

Énoncé

On considère la figure suivante :

Sur cette figure :

• $\mathscr C$ est le cercle de centre $O$ et de diamètre $[EF]$.
• $(GH)$ est la médiatrice de $[EF]$, avec $G$ et $H$ deux points appartenant à $\mathscr C$.
• Montrer que le quadrilatère $EGFH$ est un carré.

Correction

On peut commencer par tracer le quadrilatère $EGFH$ :

Astuce

Comme dans l’exercice du losange, l’énoncé nous donne des indications sur les diagonales $[EF]$ et $[GH]$ du quadrilatère $EGFH$.
Rappelons les propriétés des diagonales d’un carré :

• elles se coupent en leur milieu (un carré est un parallélogramme) ;
• elles sont de même longueur (un carré est un rectangle) ;
• elles sont perpendiculaires (un carré est un losange).
• Il nous faut donc démontrer que c’est le cas pour $EGFH$.
  Pour cela, nous nous servirons des propriétés du cercle et de la médiatrice.

$[EF]$ est un diamètre de $\mathscr C$, de centre $O$. $O$ est donc le milieu de $[EF]$ et la médiatrice $(GH)$ de $[EF]$ passe par $O$.
Le segment $[GH]$ passe par le centre O du cercle $\mathscr C$, et les points $G$ et $H$ appartiennent à $\mathscr C$, donc $[GH]$ est un diamètre de $\mathscr C$ et $O$ est son milieu.
Ainsi, $[EF]$ et $[GH]$, diagonales du quadrilatère $EGFH$, se coupent en leur milieu.

• $EGFH$ est donc un parallélogramme.

Ensuite, on l’a dit, $[EF]$ et $[GH]$ sont des diamètres d’un même cercle, ils sont donc de même longueur.
Ainsi, $EGFH$ est un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur.

• $EGFH$ est donc un rectangle.

Enfin, $(GH)$ est la médiatrice de $[EF]$, donc les segments $[EF]$ et $[GH]$ sont perpendiculaires.
Ainsi, $EGFH$ est un rectangle dont les diagonales sont perpendiculaires.

• $EGFH$ est donc un carré.

Astuce

Nous aurions aussi pu conclure à partir du quadrilatère, sans mentionner que c’est un parallélogramme ou un rectangle.
Après avoir montré que $[EF]$ et $[GH]$ se coupaient en leur milieu, étaient perpendiculaires et de même longueur, nous aurions pu conclure directement : $ABDC$ est un quadrilatère dont les diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieu et sont de même longueur, c’est donc un carré.