Dérivation
Introduction :
Dans ce cours, il sera question des nombres dérivés et des fonctions dérivées.
Nous aborderons dans un premier temps la notion de taux d’accroissement qui amène au nombre dérivé et à la tangente à une courbe. Nous verrons ensuite les fonctions dérivées sur les fonctions usuelles. Enfin nous verrons les formules de dérivation pour les fonctions plus complexes.
Nombre dérivé et tangente à une courbe
Nombre dérivé et tangente à une courbe
Nombre dérivé
Nombre dérivé
Définition
Taux d'accroissement :
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de cet intervalle ;
Soit $h$ un nombre réel tel que $a+h$ appartienne à $I$ ;
On appelle taux d’accroissement de $f$ en $a$ le nombre : $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
Démonstration
Interprétation géométrique du taux d’accroissement :
- on considère les points $A$ et $M$ d’abscisses respectives $a$ et $a+h$ de la courbe représentative de $f$.
- Le coefficient directeur de la droite $(AM)$ est : $\dfrac{y_M-y_A}{x_M-x_A}$.
- En l’appliquant au cas schématisé, on obtient : $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$
- Autrement dit, le taux d’accroissement de $f$ en $a$ représente le coefficient directeur de la droite $(AM)$.
Définition
Nombre dérivé :
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de cet intervalle.
Soit $h$ un nombre réel tel que $a+h$ appartienne à $I$.
On dit que $f$ est dérivable en $a$ si le taux d’accroissement de $f$ en $a$ admet pour limite un nombre réel lorsque $h$ tend vers zéro.
Ce nombre, noté $f'(a)$ est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$.
Lorsque $f$ est dérivable en $a$ on a ainsi : $f'(a)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
Exemple
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^2-2x+1$. On cherche, par exemple, le nombre dérivé de $f$ en $a=1$ :
- Calcul du taux d’accroissement :
$\begin{aligned} f(1+h)&=3\times(1+h)^2-2(1+h)+1 \\ &=3\times(1+2h+h^2)-2-2h+1 \\ &=3+6h+3h^2-2-2h+1\end{aligned}$
$f(1+h)=3h^2+4h+2$
$\begin{aligned} f(1)&=3\times1^2-2\times1+1\\ &=3-2+1\\ f(1)&=2 \end{aligned}$
$\begin{aligned} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}&=\dfrac{3h^2+4h+2-2}{h} \\ &=\dfrac{3h^2+4h}{h} \\ &=\dfrac{3h^2}{h}+\dfrac{4h}{h} \\ &=3h+4\end{aligned}$
- Calcul de la limite de ce taux d’accroissement quand $h$ tend vers $0$ :
$\lim\limits_{h\rightarrow0}(3h+4)=4$
En effet, si $h$ tend vers $0$, alors $3h$ tend vers $0$, et donc $3h+4$ tend vers $4$.
- On en déduit que $f$ est dérivable en $1$ et que le nombre dérivé de $f$ en $1$ est $f'(1)=4$.
Tangente à une courbe
Tangente à une courbe
Ces shémas permettent de faire le lien entre nombre dérivé et tangente à une courbe
À retenir
Le coefficient directeur de la droite $(AM)$ représente le taux d’accroissement de $f$ en $a$.
La tangente à la courbe $\mathscr{C}$ en $A$ est la position limite de la droite $(AM)$ quand le point $M$ (d’abscisse $a+h$) se rapproche du point $A$ (d’abscisse $a$) tout en restant sur la courbe, c’est-à-dire quand $h$ tend vers zéro.
Or, la limite du taux d’accroissement quand $h$ tend vers zéro est le nombre dérivé $f'(a)$.
- On en déduit la définition suivante :
Définition
Tangente à une courbe :
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de cet intervalle.
Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère $(O\ ;I\ ;J)$ du plan.
Si $f$ est dérivable en $a$, la tangente à $\mathscr{C}$ au point $A\big(a\ ;f(a)\big)$ est la droite passant par $A$ et de coefficient directeur $f'(a)$.
Propriété
Au point d’abscisse $a$ la tangente à la courbe représentative de $f$ a pour équation : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$
Nous avons déjà vu dans la première partie comment déterminer par le calcul un nombre dérivé.
- Il s’agissait de la fonction $f(x)=3x^2-2x+1$ et nous avions trouvé $f'(1)=4$.
Pour écrire l’équation de la tangente au point d’abscisse $a=1$, il ne nous reste plus qu’à remplacer dans la formule précédente : $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
- on avait $f'(1)=4$ et $f(1)=2$ ;
- donc : $y=4(x-1)+2=4x-4+2=4x-2$ ;
- l’équation de la tangente en $1$ est $y=4x-2$.
Attention
Parfois, l’expression de la fonction n’est pas donnée mais en général, l’énoncé donne sa représentation graphique. Il faut alors lire graphiquement le nombre dérivé pour trouver l’équation de la tangente.
Exemple
Ce graphique représente la courbe d’une fonction $f$ et ses tangentes en $A,B$ et $C$.
Nous allons chercher l’équation de la tangente en $A(-2\ ;3)$ et pour cela nous devons tout d’abord lire $f'(-2)$.
$f'(-2)$ est le coefficient directeur de la tangente à $\mathscr{C}$ au point de la courbe d’abscisse $-2$ c’est-à-dire en $A$.
Graphiquement, à partir de $A$ pour atteindre un autre point de la tangente, on « monte » de 2 unités quand on « avance » de 1 unité.
On a donc $f'(-2)=\dfrac{2}{1}=2$.
Astuce
Si tu n’es pas à l’aise avec la lecture graphique d’un coefficient directeur, n’hésite pas à regarder notre vidéo de 2de sur les équations de droites.
Il reste à écrire l’équation de la tangente en $A$ avec $f'(-2)=2$ et $f(-2)=3$ :
$\begin{aligned} y&=f'(-2)\big(x-(-2)\big)+f(-2)\\ &=2(x+2)+3\\ &=2x+4+3\\ y&=2x+7 \end{aligned}$
À retenir
Les tangentes horizontales ont pour coefficient directeur zéro.
- La tangente au point $C$ d’abscisse 3 est horizontale donc $f'(3)=0$.
Fonction dérivée
Fonction dérivée
Définition
Définition
Définition
Fonction dérivée :
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On dit que $f$ est dérivable sur $I$ si elle est dérivable en tout réel $x$ de $I$.
La fonction qui, à tout réel $x$ de $I$ associe le nombre dérivé $f'(x)$ est appelée fonction dérivée de $f$. Cette fonction est notée $f'$ et est définie sur $I$.
Dérivées des fonctions usuelles
Dérivées des fonctions usuelles
Attention
En règle générale les fonctions ont le même domaine de dérivabilité que leur domaine de définition, exceptée la fonction racine carrée qui est définie sur $[0\;+\infty]$ (zéro inclus) mais qui n’est dérivable que sur $]0\;+\infty]$ (zéro exclu).
Dérivées et opérations
Dérivées et opérations
Dérivée d’une somme et d’un produit par un réel
Dérivée d’une somme et d’un produit par un réel
Propriété
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle $I$.
La fonction somme $u+v$ définie sur $I$ par $f(x)=u(x)+v(x)$ est dérivable sur $I$ et, pour tout réel $x$ de $I$ on a : $(u+v)'(x)=u'(x)+v'(x)$
À retenir
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées :
$(u+v)'=u'+v'$
Exemple
La dérivée de la fonction $f(x)=x^2+3x-8$ est la somme des dérivées de $x^2$, de $3x$ et de $-8$.
Ainsi : $f'(x)=2x+3$.
Dérivée d’un produit d’une fonction par un réel
Dérivée d’un produit d’une fonction par un réel
Propriété
Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur $I$ et soit $k$ un réel constant.
La fonction $ku$ définie sur $I$ par $f(x)=k\times u(x)$ est dérivable sur $I$ et, pour tout réel $x$ de $I$ on a :
$(ku)'(x)=k\times u'(x)$
À retenir
La dérivée d’un produit de fonction par un réel est :
$(ku)'=ku'$
Exemple
La dérivée de la fonction $f(x)=2x^3$ est le produit de la constante $2$ par la dérivée de la fonction $x^3$ ;
Ainsi $f'(x)=2\times3x^2=6x^2$
Dérivée d’un produit de deux fonctions
Dérivée d’un produit de deux fonctions
Propriété
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur le même intervalle $I$.
La fonction produit $u\times v$ définie sur $I$ par $f(x)=u(x)\times v(x)$ est dérivable sur $I$ et, pour tout réel $x$ de $I$ on a :
$(u\times v)'(x)=u'(x)\times v(x)+u(x)\times v'(x)$
À retenir
La dérivée d’une fonction produit est :
$(uv)'=u'v+uv'$
Exemple
La fonction $f(x)=(x-1)\sqrt x$ définie sur $\big[0\ ;+\infty\big[$ et dérivable sur $\big]0\ ;+\infty\big[$ ; on note $u(x)=x-1$ donc $u'(x)=1$.
Et $v(x)=\sqrt x$ donc $v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}$.
- On a alors :
$\begin{aligned} f'(x)&=1\times\sqrt x+(x-1)\times\dfrac{1}{2\sqrt x}\\ f'(x)&=\sqrt x+\dfrac{x-1}{2\sqrt x} \end {aligned}$
- Le calcul de la dérivée est terminé mais nous pouvons simplifier cette expression en mettant au même dénominateur :
$\begin{aligned} f'(x)&=\dfrac{\sqrt x\times 2\sqrt x}{2\sqrt x}\\ f'(x)&=\dfrac{2x}{2\sqrt x}+\dfrac{x-1}{2\sqrt x}\\ f'(x)\ &=\dfrac{3x-1}{2\sqrt x} \end{aligned}$
- Nous obtenons donc une expression simplifiée de notre dérivée mais nous pouvons encore l’améliorer en l’écrivant sans la racine au dénominateur :
$\begin{aligned} f'(x)&=\dfrac{3x-1}{2\sqrt x}\times \dfrac{\sqrt x}{\sqrt x}\\ f'(x)&=\dfrac{(3x-1)\sqrt x}{2x} \end{aligned}$
Dérivée de l’inverse d’une fonction
Dérivée de l’inverse d’une fonction
Soit $v$ une fonction dérivable et ne s’annulant pas sur un intervalle $I$.
La fonction $\dfrac{1}{x}$ définie sur $I$ par $f(x)=\dfrac{1}{v(x)}$ est dérivable sur $I$ et, pour tout réel $x$ de $I$ on a :
$\big(\dfrac{1}{v}\big)'(x)=-\dfrac{v'(x)}{\big(v(x)\big)^2}$
À retenir
La dérivée de l’inverse d’une fonction est :
$\big(\dfrac{1}{v}\big)'=-\dfrac{v'}{v^2}$
Exemple
La fonction $f(x)=\dfrac{1}{2x^2-8}$ et $I=\big]-2 ; 2\big[$ ; on note $v(x)=2x^2-8$ donc $v'(x)=4x$.
On a alors $f'(x)=-\dfrac{4x}{(2x^2-8)^2}$
Dérivée d’un quotient de deux fonctions
Dérivée d’un quotient de deux fonctions
Propriété
Soit $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur le même intervalle $I$. On suppose que $v$ ne s’annule pas sur $I$.
La fonction quotient $\dfrac{u}{v}$ définie sur $I$ par $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ est dérivable sur $I$ et, pour tout réel $x$ de $I$ on a :
$\big(\dfrac{u}{v}\big)'(x)=\dfrac{u'(x)\times v(x)\ -\ u(x)\times v'(x)}{\big(v(x)\big)^2}$
À retenir
La dérivée d’un quotient de deux fonctions est :
$\big(\dfrac{u}{v}\big)'=\dfrac{u'v\ -\ uv'}{v^2}$
Exemple
Soit la fonction $f(x)=\dfrac{10x-3}{x+12}$ et $I=\big]-12\;+\infty\big[$
On note $u(x)=10x-3$ donc $u'(x)=10$.
Et $v(x)=x+12$ donc $v'(x)=1$.
- On a alors :
$\begin{aligned} f'(x)&=\dfrac{10\times (x+12)-(10x-3)\times 1}{(x+12)^2}\\ f'(x)&=\dfrac{10x+120-10x+3}{(x+12)^2}\\ f'(x)&=\dfrac{123}{(x+12)^2} \end{aligned}$