Cours : Division euclidienne et nombres premiers

Parmi les entiers $52$, $131$ et $260$, lesquels sont des multiples de $13$ ?

On peut effectuer la division euclidienne des trois nombres par $13$ et voir si le reste est nul.

• S’il l’est, alors le nombre est un multiple de $13$. Sinon, ce n’est pas un multiple de $13$.

Mais on peut le faire « de tête ». Nous détaillons ci-dessous les opérations, mais elles sont faisables sans écritures.

• On calcule rapidement que $13\times 2=26$, puis que $26\times 2=52$. Donc :

$$52=26\times 2=(13\times 2)\times 2=13\times (2\times 2)=13\times 4$$

• $52$ est un multiple de $13$ (et aussi de $4$).
• Ensuite, on sait que : $13\times 10=130$.
  On voit ainsi que le reste sera égal à $1$ : $131=13\times 10+1$.
• $131$ n’est pas un multiple de $13$.
• Enfin, on vient de le voir : $13\times 10=130$, et on calcule aussi facilement : $130\times 2=260$. D’où :

$$260=130\times 2=(13\times 10)\times 2=13\times (10\times 2)=13\times 20$$

• $260$ est un multiple de $13$ (et aussi de $20$).
• En conclusion, on peut dire que $52$ et $260$ sont des multiples de $13$, mais pas $131$.

Nous souhaitons dresser la liste complète des diviseurs de $24$.

• $\green 1$ et $\green {24}$ sont des diviseurs de $24$.
• $24$ a $4$ pour chiffre des unités, il est donc divisible par $2$, avec : $24=2\times 12$.
  $\green 2$ et $\green {12}$ sont des diviseurs de $24$.
• $2+4=6$ est divisible par $3$, donc $24$ est divisible par $3$, avec : $24=3\times 8$.
  $\green 3$ et $\green 8$ sont des diviseurs de $24$.
• $24$ fait partie de la table de $4$, il est donc divisible par $4$, avec : $24=4\times 6$.
  $\green 4$ et $\green 6$ sont des diviseurs de $24$.
• $24$ n’est pas divisible par $5$.
• Nous arrivons à $6$, dont nous avons déjà dit que c’est un diviseur de $24$.
  Nous arrêtons.
• Nous pouvons maintenant donner la liste complète des diviseurs de $24$, que nous rangeons par ordre croissant :

$$1\ ;\, 2\ ;\, 3\ ;\, 4\ ;\, 6\ ;\, 8\ ;\, 12\ ;\, 24$$

Un garçon de café doit répartir $24$ croissants et $36$ pains au chocolat dans des corbeilles. Chaque corbeille doit avoir le même contenu, et il ne doit rester ni croissants ni pains au chocolat après la répartition. Quelles sont les répartitions possibles ?

• Tout d’abord, il s’agit de bien comprendre l’énoncé.

D’une part, le garçon de café a $24$ croissants, et il ne doit pas en rester après la répartition dans les corbeilles. Il faut donc que le nombre de corbeilles soit un diviseur de $24$.
D’autre part, il a $36$ pains au chocolat. Comme pour les croissants, pour qu’il ne reste pas de pains au chocolat à la fin, il faut que le nombre de corbeilles soit un diviseur de $36$.

• Il s’agit donc de lister tous les diviseurs de $24$, puis de $36$, et de ne garder que ceux qu’ils ont en commun. Nous obtiendrons ainsi les nombres de corbeilles possibles et, par suite, les répartitions possibles de croissants et pains au chocolat.
• Nous avons trouvé les diviseurs de $24$ dans l’exemple précédent :

$$1\ ;\, 2\ ;\, 3\ ;\, 4\ ;\, 6\ ;\, 8\ ;\, 12\ ;\, 24$$

• Déterminons maintenant l’ensemble des diviseurs de $36$, en utilisant la méthode utilisée pour $24$.
• $\green 1$ et $\green {36}$ sont des diviseurs de $36$.
• $36$ a $6$ pour chiffre des unités, il est donc divisible par $2$, avec : $36=2\times 18$.
  $\green 2$ et $\green {18}$ sont des diviseurs de $36$.
• $3+6=9$ est divisible par $3$, donc $36$ est divisible par $3$, avec : $36=3\times 12$.
  $\green 3$ et $\green {12}$ sont des diviseurs de $36$.
• $36$ fait partie de la table de $4$, il est donc divisible par $4$, avec : $36=4\times 9$.
  $\green 4$ et $\green 9$ sont des diviseurs de $36$.
• $36$ n’est pas divisible par $5$.
• $36$ fait partie de la table de $6$, il est donc divisible par $6$, avec : $36=6\times 6$.
  $\green 6$ est un diviseur de $36$.
• On sait que, par symétrie, on a trouvé l’ensemble des diviseurs de $36$ :

$$1\ ;\, 2\ ;\, 3\ ;\, 4\ ;\, 6\ ;\, 9\ ;\, \, 12\ ;\, 18\ ;\, 36$$

• Identifions maintenant les diviseurs communs :

$$\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{Diviseurs de $24$\ :\ }} &\purple 1\ ;\, \purple 2\ ;\, \purple 3\ ;\, \purple 4\ ;\, \purple 6\ ;\, 8\ ;\, \purple {12}\ ;\, 24 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Diviseurs de $36$\ :\ }} &\purple 1\ ;\, \purple 2\ ;\, \purple 3\ ;\, \purple 4\ ;\, \purple 6\ ;\, 9\ ;\, \, \purple {12}\ ;\, 18\ ;\, 36 \end{aligned}$$

• Les quantités de corbeilles possibles sont donc : $1\ ;\, 2\ ;\, 3\ ;\, 4\ ;\, 6\ ;\, 12$.
• Nous pouvons maintenant donner les répartitions possibles, c’est-à-dire le nombre de croissants et de pains au chocolat par corbeille en fonction du nombre de corbeilles.
• Ce sera tout simplement égal aux quotients de $24$ et $36$ par le nombre de corbeilles considéré. Nous les avons indiqués lors de la recherche des diviseurs, nous mettons les résultats dans un tableau.

• $13$ est un nombre premier, car il n’admet comme diviseur que $1$ et $13$.
• $368$ n’est pas un nombre premier, car il est aussi divisible, par exemple, par $2$.
• $837$ n’est pas non plus un nombre premier, car il est aussi divisible, par exemple, par $3$ ($8+3+7=18$ est un multiple de $3$).

• $6=2\times 3$, où $2$ et $3$ sont des nombres premiers.
• $12=2\times 6=2\times 3\times 3$, où $2$ et $3$ sont des nombres premiers.
• $60=2\times 30=2\times 2\times 15=2\times 2\times 3\times 5$, où $2$, $3$ et $5$ sont des nombres premiers.

Nous cherchons à simplifier la fraction $\frac {308}{231}$.

• Décomposons $308$ et $231$ en facteurs premiers.
• Nous l’avons déjà fait pour $308$ :

$$308=2\times 2\times 7\times 11$$

• Utilisons la même méthode pour décomposer $231$ :

La décomposition en facteurs premiers de $231$ est donc :

$$231=3\times 7\times 11$$

• Nous obtenons ainsi :

$$\dfrac{308}{231}=\dfrac {2\times 2\times 7\times 11}{3\times 7\times 11}$$

• Le tableau suivant donne l’ensemble des simplifications possibles :

Pour cette dernière égalité de fractions, nous nous rendons compte qu’il n’y a plus de facteurs premiers communs après simplification.

• Nous ne pouvons pas davantage simplifier la fraction $\frac 43$.