Les fractions
Introduction :
L’objectif de ce chapitre sur les fractions est d’apprendre à les manipuler.
Pour cela, nous commencerons par rappeler la notion de fraction, puis nous définirons la notion d’égalité de fractions et nous verrons comment les simplifier.
Notion de fraction
Notion de fraction
Écriture fractionnaire et quotient
Écriture fractionnaire et quotient
Une fraction exprime le résultat d’une division, c’est-à-dire le quotient de deux nombres.
Définition
Quotient :
Soit deux nombres $a$ et $b$, avec $b$ non nul.
Le quotient de $a$ par $b$ est le nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$.
- Son écriture fractionnaire est $\frac ab$.
À retenir
Par définition, on a :
$$\dfrac ab \times b = a$$
On a aussi :
$$a \div b = \dfrac ab$$
- Si $a$ et $b$ sont entiers, alors le quotient $\frac ab$ est bien une fraction.
Une fraction peut être un nombre décimal.
Exemple
La fraction $\frac 74$ est le quotient de $7$ par $4$. Si on pose la division, on obtient :
$$\dfrac 74 = 7 \div 4 = 1,75$$
- $\frac 74$ est un nombre décimal.
D’ailleurs, tous les nombres décimaux (dont les entiers) peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction.
Exemple
$\begin{aligned} 3 &= \dfrac 31 \\ 0,7 &= \dfrac {7}{10} \\ 58,207 &= \dfrac{58\,207}{1\,000} \end{aligned}$
En revanche, une fraction n’est pas nécessairement un nombre décimal !
Exemple
La fraction $\frac 53$ est le quotient de $5$ par $3$.
Si on pose la division, on obtient :
$$\frac 53 = 5 \div 3 = 1,666666…$$
- $\frac 53$ n’est pas un nombre décimal.
- $\frac 53$ est le quotient exact de la division de $5$ par $3$.
Définition
Nombre rationnel :
On appelle nombre rationnel un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction $\frac ab$, avec $a$ et $b$ deux entiers, et $b$ non nul.
Il existe des nombres qui ne peuvent pas s’écrire sous la forme d’une fraction, comme $\pi$ ; ces nombres sont dits irrationnels.
À retenir
Tout nombre entier ou décimal peut s’écrire sous la forme d’une fraction : un nombre entier ou décimal est donc un nombre rationnel.
Mais une fraction n’est pas toujours un nombre décimal : un nombre rationnel peut donc ne pas être décimal.
Proportion et partage
Proportion et partage
Une fraction peut exprimer une proportion, un partage dont le nombre de parts est donné par le numérateur et le nom de la part (sa taille) est donné par le dénominateur.
Par exemple, considérons un gâteau circulaire, découpé en $\color {#F096BF}4$ parts égales.
Représentation du disque découpé en quatre secteurs égaux
$\color{#57BAB5}3$ parts ont été mangées sur les $\color {#F096BF}4$. On dira alors que les trois quarts du gâteau ont été mangés.
- On notera :
les $\frac {\color{#57BAB5}3}{\color {#F096BF}4}$ du gâteau ont été mangés.
Imaginons maintenant que la masse du gâteau est de $240\ \text{g}$. Quelle quantité, en gramme, les trois quarts du gâteau représentent-ils ? (On suppose que la masse des parts est égale si ces parts sont égales.)
Effectuer ce calcul revient à calculer la fraction d’un nombre. Et nous allons utiliser la propriété suivante.
Propriété
On considère deux nombres entiers $a$ et $b$, avec $b$ non nul, ainsi qu’un nombre $c$.
Pour multiplier la fraction $\frac ab$ par $c$ :
- on multiplie le numérateur $a$ par $c$ ;
- on garde le dénominateur $b$.
$$\dfrac ab \times c=\dfrac {a\times c}b$$
Pour notre gâteau, cela donne :
$$\dfrac 34\times 240=\dfrac {3\times 240}4=\dfrac {720}4=720\div 4=180$$
- Les trois quarts du gâteau de $240\ \text{g}$ représentent donc une masse de $180\ \text{g}$.
Astuce
Il existe deux autres méthodes pour calculer la fraction d’un nombre.
- On peut d’abord calculer le quotient de $3$ par $4$ :
$$\dfrac 34\times 240=(3\div 4)\times 240=0,75\times 240=180$$
- On peut aussi « déplacer » le dénominateur, en écrivant :
$$\dfrac 34\times 240=3\times \dfrac{240}4=3\times (240\div 4)=3\times 60=180$$
Toutes ces méthodes sont justes et valables. À vous de choisir pour que les calculs soient exacts et le plus simple possible.
- Ici, la dernière méthode est la plus simple. En effet, il est assez facile de calculer de tête le quotient de $240$ par $4$.
Fractions et droite graduée
Fractions et droite graduée
On peut aussi représenter des fractions sur une droite graduée, notamment lorsque le numérateur est plus grand que le dénominateur.
À retenir
Méthode : Comment placer une fraction sur une droite graduée
Soit deux entiers $a$ et $b$, avec $b$ non nul.
Pour placer une fraction $\frac ab$ sur une droite graduée (orientée de la gauche vers la droite), on partage l’unité en $b$ parts égales et on reporte $a$ fois une part à partir de $0$.
Exemple
On cherche à placer les points $A$ et $B$ d’abscisses respectives $-\frac {\textcolor{#CC0000}2}{\textcolor{#FF99CC}5}$ et $\frac {\textcolor{#00CC00}8}{\textcolor{#FF99CC}5}$.
- On partage l’unité en $5$ parts égales.
- On reporte, vers la gauche, $2$ fois une part pour placer $A\left(-\frac 25\right)$.
- On reporte, vers la droite, $8$ fois une part pour placer $B\left(\frac 85\right)$.
Représentation de la droite graduée et des points A et B
Égalité de fractions
Égalité de fractions
Fractions égales
Fractions égales
- Reprenons le gâteau du début du cours, que nous avions divisé en $\color {#F096BF}4$ parts égales et dont nous avions mangé $\color{#57BAB5}3$ parts.
Représentation du disque découpé en quatre secteurs égaux
- Les $\frac {\color{#57BAB5}3}{\color {#F096BF}4}$ du gâteau ont été mangés.
- Considérons un autre gâteau, identique.
Celui-ci a été découpé en $\color {#F096BF}8$ parts égales, et $\color{#57BAB5}6$ ont été mangées.
Représentation du disque découpé en huit secteurs égaux
- Les $\frac {\color{#57BAB5}6}{\color {#F096BF}8}$ du gâteau ont été mangés.
- Nous voyons que cela représente exactement la même proportion de gâteau mangée.
- Les deux fractions sont donc égales :
$$\dfrac {\color{#57BAB5}3}{\color {#F096BF}4}=\dfrac {\color{#57BAB5}6}{\color {#F096BF}8}$$
Nous remarquons aussi que :
$$\begin{aligned} \dfrac 68&=\dfrac {3\blue{\times 2}}{4\blue{\times 2}} \\ \dfrac 34&=\dfrac{6\blue{\div 2}}{8\blue{\div 2}} \end{aligned}$$
Propriété
Deux quotients sont égaux quand leurs numérateurs et dénominateurs sont proportionnels.
Autrement dit, la valeur d’un quotient ne change pas quand on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.
- Ainsi, pour tous nombres $a$, $b$ et $c$, avec $b$ et $c$ non nuls :
$$\begin{aligned} \dfrac ab &= \dfrac{a \times c}{b \times c} \\ \dfrac ab &= \dfrac{a \div c}{b \div c} \end{aligned}$$
Attention
Cela n’est pas valable pour l’addition et la soustraction ! En général :
$$\begin{aligned} \dfrac ab &\neq \dfrac {a+c}{b+c} \\ \dfrac ab &\neq \dfrac {a-c}{b-c} \end{aligned}$$
À retenir
Nous nous intéressons ici aux fractions.
- On multipliera donc le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre entier pour en obtenir une fraction égale.
- On divisera aussi le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un diviseur commun aux deux, s’il existe.
Exemple
- Trouvons des fractions égales à $\frac{21}9$.
- On peut multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul, $\blue 2$ par exemple :
$$\dfrac {21}9=\dfrac {21\blue {\times 2}}{9\blue {\times 2}}=\boxed{\dfrac {42}{18}}$$
- Rien ne nous empêche de multiplier par un grand nombre, $\blue{1\,979}$ par exemple, le résultat ne sera juste pas simple à manipuler et peu parlant :
$$\dfrac {21}9=\dfrac {21\blue {\times 1\,979}}{9\blue {\times 1\,979}}=\boxed{\dfrac {41\,559}{17\,811}}$$
- On voit aussi que $21$ et $9$ sont divisibles par $\blue 3$, soit en remarquant qu’ils appartiennent tous deux à la table de $\blue 3$, soit en utilisant le critère de divisibilité par $\blue 3$ :
$$\dfrac {21}9=\dfrac {21\blue {\div 3}}{9\blue {\div 3}}=\boxed{\dfrac 73}$$
- Dans l’égalité suivante, quel nombre mettre pour obtenir deux fractions égales ?
$$\dfrac {63}{14}=\frac {…}{140}$$
On voit que, au dénominateur, on est passé de $14$ à $140$ en multipliant par $\blue{10}$.
- On multiplie donc aussi le numérateur par $\blue{10}$ :
$$\dfrac{63}{14}=\dfrac {63\blue{\times 10}}{14\blue{\times 10}}=\dfrac{\green{630}}{140}$$
- Dans l’égalité suivante, quel nombre mettre pour obtenir deux fractions égales ?
$$\dfrac {14}{63}=\frac 2{…}$$
On voit que, au numérateur, on est passé de $14$ à $2$ en divisant par $\blue 7$.
Le dénominateur, $63$, fait aussi partie de la table de $\blue 7$.
- On divise donc aussi le dénominateur par $\blue 7$ :
$$\dfrac{14}{63}=\dfrac {14\blue{\div 7}}{63\blue{\div 7}}=\dfrac 2{\green 9}$$
Simplifier une fraction
Simplifier une fraction
Dans le dernier exemple, nous avons vu que les fractions $\frac {14}{63}$ et $\frac 29$ étaient égales. Et la deuxième fraction a des numérateur et dénominateur plus petits que ceux de la première.
- Quand on écrit $\frac {14}{63}$ sous l’écriture $\frac 29$, on dit qu’on simplifie $\frac {14}{63}$.
Définition
Simplification de fraction :
Simplifier une fraction, c’est lui trouver une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits.
À retenir
Méthode : Comment simplifier une fraction
Soit deux entiers $a$ et $b$, avec $b$ non nul.
Pour simplifier la fraction $\frac ab$, on trouve, si possible, un entier $c$ différent de $0$ et de $1$ tel que $c$ divise à la fois $a$ et $b$.
- Si cet entier $c$ existe, une fraction simplifiée de $\frac ab$ est alors :
$$\dfrac{a\div c}{b\div c}$$
On dira alors qu’on a simplifié la fraction par $c$.
Exemple
On cherche à simplifier la fraction $\frac{108}{378}$.
- $108$ et $378$ sont pairs, on peut les diviser par $\blue 2$.
- On simplifie donc la fraction par $\blue 2$ :
$$\dfrac {108}{378}=\dfrac{108\blue{\div 2}}{378\blue{\div 2}}=\dfrac {54}{189}$$
- En appliquant le critère de divisibilité par $9$, on voit que $54$ et $189$ sont divisibles par $\blue 9$. En effet, $5+4=9$ et $1+8+9=18$, qui sont tous deux des multiples de $9$.
- On peut donc simplifier par $\blue 9$ :
$$\dfrac {54}{189}=\dfrac {54\blue{\div 9}}{189\blue{\div 9}}=\dfrac 6{21}$$
- $6$ et $21$ appartiennent à la table de $\blue 3$.
- On simplifie encore, par $\blue 3$ cette fois.
$$\dfrac 6{21}=\dfrac{6\blue{\div 3}}{21\blue{\div 3}}=\dfrac 27$$
- Nous obtenons ainsi ces égalités de fractions :
$$\dfrac {108}{378}=\dfrac {54}{189}=\dfrac 6{21}=\dfrac 27$$
Nous verrons, dans le cours consacré à la divisibilité, une autre technique pour simplifier des fractions.
Conclusion :
Ce cours nous a permis de mieux définir les fractions, comme expressions d’un quotient ou d’une proportion. Nous avons aussi découvert la notion d’égalité de fractions.
Nous avons donc maintenant les outils nécessaires pour réduire des fractions au même dénominateur, comparer des fractions et effectuer des opérations.