Comparer, additionner, soustraire des fractions
Introduction :
Nous connaissons maintenant la notion d’égalité de fractions. Nous allons ici l’appliquer pour réduire des fractions au même dénominateur, afin de pouvoir les comparer, les additionner ou les soustraire.
Réduire deux fractions au même dénominateur
Réduire deux fractions au même dénominateur
Définition
Réduire deux fractions au même dénominateur :
Réduire deux fractions au même dénominateur, c’est leur trouver des fractions égales dont les dénominateurs sont égaux.
- Il s’agit donc de leur trouver un dénominateur commun.
Considérons, par exemple, les fractions $\frac 5{\pink 6}$ et $\frac 7{\purple 9}$, on peut bien sûr choisir comme dénominateur commun $\pink 6\times \purple 9$ :
$$\dfrac 5{\pink 6}=\dfrac {5\times \purple 9}{\pink 6\times \purple 9}=\dfrac{45}{\green{54}}\quad \textcolor{#A9A9A9}{\text{et}}\quad \dfrac 7{\purple 9}=\dfrac{7\times \pink 6}{\purple 9\times \pink 6}=\dfrac{42}{\green{54}}$$
Cette technique a l’avantage de fonctionner tout le temps. Mais elle a pour désavantage de nous faire travailler avec des fractions dont les numérateurs et les dénominateurs peuvent être très grands.
Or, on préfère travailler avec des entiers les plus petits possibles, pour simplifier les calculs.
À retenir
En pratique, on recherchera donc le plus petit multiple commun aux dénominateurs.
Pour les fractions $\frac 5{\pink 6}$ et $\frac 7{\purple 9}$, nous remarquons que $18$ fait partie des tables de $\pink 6$ et $\purple 9$, avec :
- $6\blue{\times 3}=\green{18}$ ;
- $9\textcolor{#B22222}{\times 2}=\green{18}$
- On choisit donc $\green{18}$ comme dénominateur commun :
$$\dfrac 56=\dfrac{5\blue{\times 3}}{6\blue{\times 3}}=\dfrac{15}{\green{18}} \quad \textcolor{#A9A9A9}{\text{et}}\quad \dfrac 79=\dfrac {7\textcolor{#B22222}{\times 2}}{9\textcolor{#B22222}{\times 2}}=\dfrac {14}{\green{18}}$$
Astuce
Parfois, le dénominateur d’une fraction sera un multiple du dénominateur de la seconde. Par exemple avec : $\frac 5{\pink 3}$ et $\frac{13}{\green{12}}$, puisque $\pink 3\blue{\times 4}=\green{12}$.
Il suffit alors de trouver la fraction égale à $\frac 53$ de dénominateur $\green{12}$, en multipliant son numérateur et son dénominateur par $\blue 4$ :
$$\dfrac 53=\dfrac{5\blue{\times 4}}{3\blue{\times 4}}=\dfrac{20}{\green{12}}$$
Comparaison de fractions
Comparaison de fractions
Nous allons maintenant voir les deux méthodes principales pour comparer des fractions. Puis nous donnerons deux petites astuces qui permettront, dans certains cas, de très rapidement effectuer la comparaison demandée.
Première méthode : Réduction au même dénominateur
Première méthode : Réduction au même dénominateur
À retenir
Pour comparer deux fractions, on peut les réduire au même dénominateur (positif) si ce n’est pas déjà le cas.
Lorsque les fractions ont le même dénominateur, on utilise la propriété suivante.
Propriété
Si deux fractions ont le même dénominateur positif, la plus petite est celle qui a le plus petit numérateur.
Soit $a$, $b$ et $c$ trois nombres entiers, avec $c > 0$. Si $a\red < b$, alors :
$$\dfrac ac \red < \dfrac bc$$
C’est bien sûr logique : si un gâteau a été coupé en $\pink 8$ parts égales, que vous avez pris $\color{#57BAB5} 1$ part quand une autre personne en a pris $\blue 3$, au final, c’est vous qui en avez mangé le moins !
- Nous avons bien $\textcolor{#57BAB5} 1 < \blue 3$ et :
$$\dfrac {\color{#57BAB5}1}{\pink 8} < \dfrac {\blue 3}{\pink 8}$$
Exemple
- On veut comparer $\frac 16$ et $\frac {11}{18}$.
Il faut réduire les deux fractions au même dénominateur, et $18$ est un multiple de $6$, avec : $18=6\times 3$. Nous obtenons :
$$\purple{\dfrac 16}=\dfrac{1\times 3}{6\times 3}=\purple{\dfrac 3{18}}$$
- Comme $\purple 3< 11$, on obtient :
$$\purple{\dfrac 3{18}} < \dfrac {11}{18} \qquad\textcolor{#A9A9A9}{\text{donc\ :}}\qquad \purple{\dfrac 16} < \dfrac {11}{18}$$
- On veut comparer $\frac {11}{18}$ et $\frac {26}{36}$.
On peut simplifier $\frac {26}{36}$ par $2$, puisque $26$ et $36$ sont des nombres pairs, et ainsi obtenir une fraction égale de dénominateur $18$ :
$$\pink{\dfrac{26}{36}}=\dfrac{26\div 2}{36\div 2}=\pink{\dfrac {13}{18}}$$
- Comme $11 < \pink{13}$, on a :
$$\dfrac{11}{18} < \pink{\dfrac {13}{18}}\qquad \textcolor{#A9A9A9}{\text{donc\ :}}\qquad \dfrac {11}{18}<\pink{\dfrac{26}{36}}$$
- On veut comparer $\frac {-5}7$ et $\frac 16$.
- Inutile de réduire ces deux fractions au même dénominateur, car on voit que $\frac {-5}7$ est un nombre négatif quand $\frac 16$ est un nombre positif, donc :
$$\dfrac{-5}7 < \dfrac 16$$
- On peut, pour terminer, ranger toutes ces fractions, de la plus petite à la plus grande :
$$\boxed{\dfrac{-5}7 < \dfrac 16 < \dfrac {11}{18}<\dfrac {26}{36}}$$
Deuxième méthode : Calcul des quotients
Deuxième méthode : Calcul des quotients
À retenir
Pour comparer deux fractions, on peut calculer les quotients et en donner une valeur exacte ou approchée, pour pouvoir ensuite les comparer.
Exemple
On cherche à comparer $\frac {83}{47}$ et $\frac{121}{73}$.
Ici, il est possible de les réduire au même dénominateur, mais calculer leurs valeurs, même de manière approchée, sera sans doute plus rapide, surtout si on utilise sa calculatrice… On trouve :
$$\begin{aligned} \dfrac{83}{47}&\approx 1,77 \\ \dfrac{121}{73}&\approx 1,66 \end{aligned}$$
- Comme $1,66 < 1,77$, on obtient :
$$\boxed{\dfrac{121}{73} < \dfrac{83}{47}}$$
Comparaison à l’unité
Comparaison à l’unité
Propriété
On considère une fraction dont les numérateur et dénominateur sont positifs.
- Si son numérateur est égal à son dénominateur, alors elle vaut $1$.
- Si son numérateur est supérieur à son dénominateur, alors elle est supérieure à $1$.
- Si son numérateur est inférieur à son dénominateur, alors elle est inférieure à $1$.
Exemple
On cherche à comparer $\frac {39}{38}$ et $\frac{116}{117}$.
- On a $39 > 38$, donc :
$$\dfrac {39}{38} > 1$$
- On a $116 < 117$, donc :
$$\dfrac {116}{117} < 1$$
- On en conclut donc :
$$\boxed{\dfrac {39}{38} > 1 > \dfrac{116}{117}}$$
Opérations sur les fractions
Opérations sur les fractions
Nous allons maintenant apprendre à effectuer des additions et des soustractions de fractions. Comme nous allons le voir, il faut pour cela qu’elles aient le même dénominateur.
Lorsque les dénominateurs sont les mêmes
Lorsque les dénominateurs sont les mêmes
Propriété
Pour additionner (ou soustraire) deux fractions de même dénominateur :
- on additionne (ou soustrait) les numérateurs ;
- on garde le dénominateur commun.
Si $a$, $b$ et $c$ désignent des entiers relatifs, avec $ c\neq0$, alors :
$$\begin{aligned} \dfrac{ a}{ c}+\dfrac{ b}{ c}=\dfrac{ a+ b}{ c} \\ \dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}=\dfrac{ a- b}{ c} \end{aligned}$$
Si on repense à un gâteau partagé en $\pink 8$ parts égales, on comprend bien la logique. En effet, si vous avez pris $\purple 1$ part et qu’une autre personne a pris $\blue 2$ parts, au final $\purple 1+\blue 2=\green3$ parts sur les $\pink 8$ ont été mangées :
$$\dfrac {\purple 1}{\pink 8}+\dfrac {\blue 2}{\pink 8}=\dfrac {\green 3}{\pink 8}$$
Exemple
- On cherche à calculer : $\frac 95+\frac75$.
$$\begin{aligned} \dfrac 95+\dfrac75&=\dfrac {9+7}5 \\ &=\dfrac {16}5 \end{aligned}$$
- Ici, on voit que $\frac{16}5$ est un nombre décimal, on peut donc en donner une écriture décimale :
$$\boxed{\dfrac 95+\dfrac75=\dfrac {16}5=3,2}$$
- On cherche à calculer : $\frac {50}{33}-\frac {11}{33}$.
$$\begin{aligned} \dfrac {50}{33}-\dfrac {11}{33}&=\dfrac{50-11}{33} \\ &=\dfrac{39}{33} \end{aligned}$$
- $39$ et $33$ sont divisibles par $3$, on peut simplifier la fraction par $3$ :
$$\boxed{\dfrac {50}{33}-\dfrac {11}{33}=\dfrac {39}{33}=\dfrac {13}{11}}$$
Savoir additionner et soustraire des fractions peut permettre de décomposer une fraction sous la forme d’une somme, ou d’une différence, d’un nombre entier et d’une fraction.
Pour cela, il suffit de trouver les multiples du dénominateur les plus proches du numérateur. Prenons un exemple pour bien comprendre le principe.
Exemple
On souhaite décomposer la fraction $\frac{\purple{15}}{\pink 7}$ sous la forme d’une somme et d’une différence d’un entier et d’une fraction.
On sait que $\blue{14}$ et $\green{21}$ sont les multiples de $\pink 7$ (ils font partie de la table de $7$) qui encadrent immédiatement $\purple{15}$.
- On peut donc écrire, d’une part :
$$\dfrac {\purple{15}}{\pink 7}=\dfrac{\blue{14}+1}{\pink 7}$$
Cette dernière expression peut s’écrire sous la forme d’une somme de deux fractions de même dénominateur, $\pink 7$, en quelque sorte en faisant le chemin inverse de celui qu’on a fait plus haut, pour calculer une somme de fractions :
$$\begin{aligned} \dfrac {\purple{15}}{\pink 7}&=\dfrac {\blue{14}}{\pink 7}+\dfrac 1{\pink7} \\ &=\boxed{2+\dfrac 17} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $14\div 7= 2$]}}} \end{aligned}$$
- D’autre part, de façon équivalente, on peut écrire :
$$\begin{aligned} \dfrac {\purple{15}}{\pink 7}&=\dfrac{\green{21}-6}{\pink 7} \\ &=\dfrac{\green{21}}{\pink 7}-\dfrac 6{\pink 7} \\ &=\boxed{3-\dfrac 67} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $21\div7=3$]}}} \end{aligned}$$
- On peut aussi en profiter pour encadrer $\frac{15}7$ avec deux entiers consécutifs.
- Comme $\frac {15}7=2+\frac 17$, on a :
$$\dfrac {15}7 > 2$$
- Comme $\frac {15}7=3-\frac 67$, on a :
$$\dfrac {15}7 < 3$$
- On en déduit l’encadrement :
$$\boxed{2 < \dfrac {15}7 < 3}$$
Lorsqu’un dénominateur est un multiple de l’autre
Lorsqu’un dénominateur est un multiple de l’autre
À retenir
Pour additionner (ou soustraire) deux fractions :
- on réduit les deux nombres au même dénominateur ;
- on applique la règle d’addition (ou de soustraction).
Exemple
- On cherche à calculer : $\frac 9{14}+\frac{41}{28}$.
$28$ est un multiple de $14$, avec : $28=14\times 2$.
- On choisit donc $28$ comme dénominateur commun :
$$\begin{aligned} \dfrac 9{14}+\dfrac{41}{28}&=\dfrac {9\times 2}{14\times 2}+\dfrac{41}{28} \\ &=\dfrac{18}{28}+\dfrac {41}{28} \\ &=\dfrac{18+41}{28} \\ &=\boxed{\dfrac{59}{28}} \end{aligned}$$
- On cherche à calculer : $\frac89-\frac{41}{72}$.
$72$ est un multiple de $9$, avec : $72=9\times 8$.
- On choisit donc $72$ comme dénominateur commun :
$$\begin{aligned} \dfrac89-\frac{41}{72}&=\dfrac{8\times 8}{9\times 8}-\dfrac{41}{72} \\ &=\dfrac{64}{72}-\dfrac{41}{72} \\ &=\dfrac{64-41}{72} \\ &=\boxed{\dfrac{23}{72}} \end{aligned}$$
Nous pouvons maintenant effectuer des additions de nombres écrits sous différentes formes.
Exemple
On considère la somme suivante :
$$3,2+\dfrac{29}{100}+\dfrac 85$$
- On souhaite exprimer le résultat sous forme décimale et fractionnaire.
- Méthode 1 : Calcul avec les écritures décimales
Écrivons les deux fractions sous forme décimale : $\frac{29}{100}$ est une fraction décimale, et le quotient de $8$ par $5$ est bien un nombre décimal :
$$\begin{aligned} \dfrac{29}{100}&=0,29 \\ \dfrac 85&=\dfrac {16}{10}=1,6 \end{aligned}$$
- On trouve donc :
$$3,2+\dfrac{29}{100}+\dfrac 85=3,2+0,29+1,6=5,09$$
- On peut alors aussi exprimer $5,09$ sous forme de fraction décimale :
$$3,2+\dfrac{29}{100}+\dfrac 85=\boxed{5,09}=\boxed{\dfrac{509}{100}}$$
- Méthode 2 : Calcul avec les écritures fractionnaires
Ici, il suffit d’écrire $3,2$ sous la forme d’une fraction décimale :
$$3,2=\dfrac{32}{10}$$
Nous obtenons donc :
$$3,2+\dfrac{29}{100}+\dfrac 85=\dfrac{32}{10}+\dfrac{29}{100}+\dfrac 85$$
$100$ est un multiple à la fois de $10$ et de $5$.
On choisit donc $100$ comme dénominateur commun, avant d’appliquer la règle d’addition :
$$\begin{aligned} 3,2+\dfrac{29}{100}+\dfrac 85&= \dfrac{32\times 10}{10\times 10}+\dfrac{29}{100}+\dfrac{8\times 20}{5\times 20} \\ &=\dfrac{320}{100}+\dfrac{29}{100}+\dfrac{160}{100} \\ &=\dfrac{320+29+160}{100} \\ &=\dfrac{509}{100} \end{aligned}$$
- C’est une fraction décimale, on trouve facilement son écriture décimale :
$$3,2+\dfrac{29}{100}+\dfrac 85=\boxed{\dfrac{509}{100}}=\boxed{5,09}$$
Conclusion :
Nous savons maintenant effectuer des additions et soustractions de fractions. Nous devenons aussi familiers des différentes écritures d’un nombre.
La notion de fraction est importante et on s’en sert souvent en mathématiques, par exemple en statistiques et probabilités, quand on travaille avec des pourcentages ou quand on étudie des situations de proportionnalité : nous verrons tout cela dans la partie « Organisation et gestion des données ».