Cours : Écoulement d’un fluide incompressible

Qu’est-ce que la poussée d’Archimède ?

Nous avons tous entendu parler de la poussée d’Archimède, de la fameuse légende du « Eurêka » crié par ce savant grec du III^e siècle av. J.-C., lorsqu’il comprit les forces qui agissaient sur un corps plongé dans un fluide.
Nous savons maintenant que cette poussée, par exemple, permet aux bateaux de flotter, aux montgolfières de s’élever dans les airs, ou explique pourquoi on rencontre une résistance quand on essaie d’atteindre le fond d’une piscine.
Mais savons-nous quelle est l’origine de cette force ? comment la déterminer ? C’est ce que nous allons voir dans cette première partie, à travers un exemple.

Origine de la poussée d’Archimède

Rappel

Un fluide est incompressible si son volume reste constant malgré les forces extérieures qui s’exercent sur lui. Sa masse volumique $\rho$ est donc constante et ne dépend pas de la pression qui s’y exerce.

Afin de mieux comprendre son origine, considérons tout d’abord un solide dans les conditions suivantes :

• il est de forme cubique, d’arête $a$, et a donc pour volume $V_\text{sol}=a^3$ ;
• il est complètement immergé dans un fluide au repos, incompressible et de masse volumique $\rho$ constante, soumis à un champ de pesanteur uniforme $\vec g=-g\cdot \vec k$ (avec $\vec k$ le vecteur unitaire, vertical et orienté vers le haut) ;
• ses faces supérieure et inférieure sont à l’« horizontale » (donc ses faces latérales sont à la « verticale ») ;
• la face inférieure est à l’altitude $z_A$, et la face supérieure à l’altitude $z_B$.

En classe de première, nous avons appris qu’un fluide au repos exerce, sur chaque petite surface du solide, une force pressante $\overrightarrow{F_\text{p}}$, normale à cette surface d’aire $S$ et d’intensité : $F_\text{p}=P\cdot S$, où $P$ est la pression du fluide à l’altitude considérée.

• À l’altitude $z_A$, notons la pression $P_A$ et, à l’altitude $z_B$, $P_B$.

Intéressons-nous à la résultante des forces de pression que le fluide exerce sur l’ensemble des faces du cube, c’est-à-dire à la somme des forces qui s’exercent sur ses faces latérales, inférieure et supérieure.

• Nous notons cette résultante $\overrightarrow{\Pi\ }$.
• Forces pressantes exercées sur les faces latérales

Regardons une vue en coupe du dessus du cube, par exemple à l’altitude $z_3$ :

Nous voyons que les forces pressantes qui s’exercent sur des faces opposées se compensent deux à deux.
Idem aux altitudes $z_2$ et $z_1$ : l’intensité des forces pressantes augmente avec la profondeur, mais, à une altitude égale, elles se compensent deux à deux.
Et il en va de même sur toute la hauteur du cube.

• Les forces qui s’exercent sur les parois latérales du solide s’annulent deux à deux, leur somme est le vecteur nul :

$$\Sigma \overrightarrow{F\ }_\text{p,lat}=\vec 0$$

• Forces pressantes exercées sur la face inférieure

Chaque portion de la face inférieure est à la même altitude $z_A$ et est soumise à la même pression $P_A$. De plus, la force pressante qui s’exerce sur cette face est verticale et orientée vers le haut, soit dans le même sens que $\vec k$.

• La force pressante qui s’exerce sur la face inférieure du cube, de superficie $S=a^2$, s’exprime :

$$\begin{aligned} \overrightarrow{F\ }_\text{p,inf}&=P_A\cdot S\cdot \vec k \\ &= P_A\cdot a^2\cdot \vec k \end{aligned}$$

• Forces pressantes exercées sur la face supérieure

De la même façon, la force qui s’exerce sur la face supérieure, aussi d’aire $S=a^2$, placée à l’altitude $z_B$ et soumise à une pression $P_B$, est orientée vers le bas, soit dans le sens contraire à $\vec k$, et s’écrit :

$$\begin{aligned} \overrightarrow{F\ }_\text{p,sup}&=-P_B\cdot S\cdot \vec k \\ &= -P_B\cdot a^2\cdot \vec k \end{aligned}$$

• Résultante des forces pressantes $\Pi$

La résultante $\overrightarrow{\Pi\ }$ s’écrit donc comme la somme des forces pressantes que nous venons d’établir :

$$\begin{aligned} \overrightarrow{\Pi\ }&=\Sigma \overrightarrow{F\ }_\text{p,lat} + \overrightarrow{F\ }_\text{p,inf}+\overrightarrow{F\ }_\text{p,sup} \\ &=\vec 0+ P_A\cdot a^2\cdot \vec k- P_B\cdot a^2\cdot \vec k \\ &=(P_A-P_B)\cdot a^2\cdot \vec{k} \end{aligned}$$

Or, la loi fondamentale de la statique des fluides, aussi vue en première, nous dit que :

$$P_A-P_B=\rho \cdot g\cdot (z_B-z_A) $$

En remplaçant $P_A-P_B$ par cette expression, nous obtenons :

$$\begin{aligned} \overrightarrow{\Pi\ }&=\rho \cdot g\cdot (z_B-z_A) \cdot a^2\cdot \vec{k} \\ &=\rho \cdot g\cdot a\cdot a^2\cdot \vec{k} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $z_B-z_A$ correspond à la hauteur du cube, soit $a$]}}} \\ &=\rho \cdot a^3\cdot g\cdot \vec{k} \end{aligned}$$

Comme $\vec g=-g\cdot \vec k$, nous obtenons :

$$\begin{aligned} \overrightarrow{\Pi\ }&=-\rho\cdot a^3\cdot \vec g \\ &=-\rho\cdot V_\text{sol}\cdot \vec g \end{aligned}$$

Le solide, complètement immergé, a déplacé un volume de fluide $V_\text{fluide}$ égal à son volume $V_\text{sol}$. D’où :

$$\overrightarrow{\Pi\ }=-\rho\cdot V_\text{fluide}\cdot \vec g$$

Le produit de la masse volumique $\rho$ par le volume de fluide déplacé donne la masse de fluide déplacé $m_\text{fluide}$ :

$$\overrightarrow{\Pi\ }=-m_\text{fluide}\cdot \vec g$$

• Par définition du poids, nous obtenons finalement que la résultant des forces pressantes $\overrightarrow{\Pi \ } $ est le vecteur opposé au poids du fluide déplacé $\overrightarrow{P\ }_\text{fluide}$ :

$$\overrightarrow{\Pi\ }=-\overrightarrow{P\ }_\text{fluide}$$

À retenir

Nous venons d’établir que, dans le cas particulier d’un solide de forme cubique, la résultante des forces pressantes est une force opposée au poids du volume de fluide déplacé : de direction verticale, orientée vers le haut et de même intensité.

• C’est cette force qui est appelée poussée d’Archimède.

Elle est due, comme nous l’avons vu, à une différence de pression entre la partie inférieure du solide et sa partie supérieure.

Expression de la poussée d’Archimède

Le résultat obtenu dans la partie précédente avec un solide cubique se généralise à tout solide, quelle que soit sa forme.

Citation

Théorème d’Archimède :

« Tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci ou traversant sa surface libre, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et opposée au poids du volume de fluide déplacé ; cette force est appelée poussée d'Archimède. »

Et nous pouvons aussi donner l’expression vectorielle de la poussée d’Archimède, si le fluide considéré est incompressible.

Propriété

Dans un champ de pesanteur uniforme $\vec g$, soit un solide plongé dans un fluide incompressible de masse volumique $\rho_\text{fluide}$. $V_\text{im}$ est le volume de la partie immergée du solide.
La poussée d’Archimède $\overrightarrow{\Pi\ }$ est alors égale à :

$$\overrightarrow{\Pi\ }=-\rho_\text{fluide}\cdot V_\text{im}\cdot \vec g$$

Avec :

• $\overrightarrow{\Pi\ }$ la poussée d’Archimède, dont la valeur $\Pi$ est exprimée en newton $(\text{N})$ ;
• $\rho_{\text{fluide}}$ la masse volumique en kilogramme par mètre cube $(\text{kg}\cdot\text{m}^{-3})$ ;
• $V_{\text{im}}$ le volume en mètre cube $(\text{m}^3)$ ;
• $\vec g$ le champ de pesanteur et $g = 9,81\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$.

Remarquons que la poussée d’Archimède ne dépend que de la masse volumique du fluide, du volume immergé et du champ de pesanteur.

• Elle ne dépend pas de l’altitude à laquelle se trouve le corps.

À retenir

Si la valeur du poids d’un corps immergé est inférieure à celle de la poussée d’Archimède, alors le corps remontera à la surface et « flottera ». Dans le cas contraire, il « coulera ».

Exemple

Dans le champ de pesanteur terrestre ($g=9,81\ \text{N}\cdot \text{kg}^{-1}$), on plonge complètement dans de l’eau de mer, de masse volumique $\rho_\text{eau}=1,03\times 10^3\ \text{kg}\cdot \text{m}^{-3}$, deux boules (pleines) en bois, de même rayon $r=6,00\times 10^{-2}\ \text{m}$ :

• l’une est en bois de teck, de masse volumique $\rho_\text{teck}=8,60\times 10^2\ \text{kg}\cdot \text{m}^{-3}$ ;
• l’autre est en bois d’ébène, de masse volumique $\rho_\text{ébène}=1,12\times 10^3\ \text{kg}\cdot \text{m}^{-3}$.
• Les deux boules ont le même volume et sont complètement immergées.
• Elles subissent la même poussée d’Archimède, qui a pour norme :

$$\begin{aligned} \Pi&=\rho_\text{eau}\cdot V_\text{boule}\cdot g \\ &=1,03\times 10^3\times \dfrac 43\times \pi\times {(6,00\times 10^{-2})}^3\times 9,81 \\ &=9,14\ \text{N} \end{aligned}$$

• Déterminons maintenant la valeur du poids de chacune des boules :

$$\begin{aligned} P_\text{teck}&=\rho_\text{teck}\cdot V_\text{boule}\cdot g \\ &=8,60\times 10^2\times \dfrac 43\times \pi\times {(6,00\times 10^{-2})}^3\times 9,81 \\ &=7,63\ \text{N} \\ \\ P_\text{ébène}&=\rho_\text{ébène}\cdot V_\text{boule}\cdot g \\ &=1,12\times 10^3\times \dfrac 43\times \pi\times {(6,00\times 10^{-2})}^3\times 9,81 \\ &=9,94\ \text{N} \\ \end{aligned}$$

• Nous avons ainsi : $P_\text{teck}<\Pi < P_\text{ébène}$.
• La boule de teck « flottera ».
• La boule d’ébène « coulera ».

Écoulement d’un fluide en régime permanent

Limitations du programme

La dynamique des fluides a pour objet de relier l’écoulement d’un fluide aux actions qui lui sont appliquées. Cette partie de la mécanique des fluides peut devenir relativement difficile en fonction des caractéristiques du fluide et du type d’écoulement étudiés.
Par souci de simplification, nous nous limiterons aux écoulements pour lesquels les couches de fluides glissent librement les unes sur les autres sans frottement. Un tel fluide qui n’oppose aucune résistance à son mouvement est appelé fluide parfait ou non visqueux.
Dans le cas contraire, le fluide sera dit visqueux. Dans un fluide visqueux, il existe des forces de frottement interne entre les couches de fluide qui s’écoulent à des vitesses différentes.

Définition

Fluide parfait :

Un fluide parfait est un fluide de viscosité nulle dont l’écoulement se fait sans frottement interne.

Dans le cadre de notre programme, nous nous limiterons à l’étude de fluides parfaits et incompressibles.

• De plus, l’écoulement étudié sera en régime permanent, indépendant du temps.

Définition

Régime d’écoulement permanent indépendant du temps :

Un régime d’écoulement est dit permanent indépendant du temps, ou stationnaire, si, en une position donnée, la vitesse d’écoulement reste constante au cours du temps.

• Attention, cela ne veut pas dire que la vitesse d’écoulement sera identique quelle que soit la position considérée !

• En résumé, nous limiterons notre étude aux écoulements en régime permanent, indépendant du temps, de fluides parfaits et incompressibles.

Conservation du débit volumique

Considérons un fluide incompressible qui s’écoule, en régime permanent indépendant du temps, dans une canalisation (représentée ci-dessous).

À retenir

Pour étudier l’écoulement de ce fluide, nous considérons de tout petits volumes élémentaires, des cubes par exemple, que nous appelons particules de fluide.
Une particule de fluide en mouvement suit alors, en régime permanent, une trajectoire appelée ligne de courant et son vecteur vitesse est tangent, à tout instant, à la ligne de courant.

Imaginons maintenant une section droite de la conduite, appelée surface de contrôle, dont on note l’aire $S$.
Pendant une durée $\Delta t$, un volume $V$ de fluide traverse cette surface.

Définition

Débit volumique :

Soit $V$ le volume de fluide qui s’écoule à travers la surface de contrôle pendant une durée $\Delta t$.
Le débit volumique, noté $D_\text{V}$, est le volume de fluide qui traverse la surface de contrôle par unité de temps. Il est donné par la formule :

$$D_\text{V}=\dfrac V{\Delta t}$$

Avec :

• $D_\text{V}$ le débit volumique en mètre cube par seconde $(\text{m}^3\cdot \text{s}^{-1})$ ;
• $V$ le volume du fluide en mètre cube $(\text{m}^3)$ ;
• $\Delta t$ la durée en seconde $(\text{s})$.

Pour l’écoulement dans notre conduite, la vitesse $\vec v$ des particules de fluide est uniforme sur toute la section droite.
Pendant une durée $\Delta t$, le fluide qui traverse la section droite parcourt donc une distance $l$.

Le volume $V$ de fluide, dans notre cas, est égal au produit de l’aire $S$ par la longueur $l$ : $V=S\times l$.

• L’expression du débit volumique devient alors :

$$D_\text{V}=\dfrac V{\Delta t}=\dfrac {S\times l}{\Delta t}=S\times \dfrac l{\Delta t}$$

Or, $\dfrac l{\Delta t}$, soit le quotient de la distance parcourue par la durée, c’est la vitesse d’écoulement $v$ du fluide.

À retenir

Le débit volumique est ainsi égal au produit de l’aire $S$ de la section droite par la vitesse $v$ d’écoulement du fluide :

$$D_\text{V}=S\times v$$

Avec :

• $D_V$ en $\text{m}^3\cdot \text{s}^{-1}$ ;
• $S$ en $\text{m}^2$ ;
• $v$ en $\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$.

Maintenant que nous avons défini le débit volumique et que nous avons les formules pour le calculer, nous pouvons donner une propriété importante : la conservation du débit volumique.

À retenir

Pour l’écoulement d’un fluide parfait et incompressible en régime permanent, indépendant du temps, le débit volumique se conserve.

Nous en tirons une conséquence immédiate : si un fluide s’écoule en régime permanent indépendant du temps dans une conduite de section variable, alors les vitesses d’écoulement ne sont pas égales.
En effet, à partir de la formule du débit volumique, nous pouvons écrire :

$$v=\dfrac {D_\text{V}}{S}$$

$D_V$ est une constante.

• Donc la vitesse $v$ d’écoulement et l’aire $S$ de la section sont inversement proportionnelles.
  Ainsi, par exemple, si la conduite se rétrécit, la vitesse d’écoulement du fluide augmente.

Exemple

On s’intéresse à une conduite cylindrique qui se rétrécit, dans laquelle circule de l’eau :

Conservation du débit volumique et vitesses d’écoulement

On considère que l’eau est un fluide parfait et incompressible et que l’écoulement se fait en régime permanent.

• Au niveau de la section 1, de rayon $r_1=6,0\ \text{cm}$, l’eau s’écoule à la vitesse $v_1=0,70\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}$.
• La section 2 a pour rayon $r_2=2,0\ \text{cm}$.
• On cherche à déterminer la vitesse d’écoulement $v_2$ au niveau de la section 2.

Il y a conservation du débit volumique $D_\text{V}$. On a donc, avec $S_1$ et $S_2$, les aires respectives des sections 1 et 2 :

$$D_\text{V}=S_1\times v_1=S_2\times v_2$$

La conduite étant cylindrique, les sections sont des disques. On obtient ainsi :

$$\begin{aligned} \pi{r_1}^2\times v_1&=\pi{r_2}^2\times v_2 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }} v_2&=\dfrac {\pi{r_1}^2\times v_1}{\pi{r_2}^2} \\ &=\dfrac {{r_1}^2\times v_1}{{r_2}^2} \\ &=\dfrac {0,060^2\times 0,70}{0,020^2} \\ &=\boxed{6,3\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}} \end{aligned}$$

On peut aussi préciser la valeur du débit volumique :

$$\begin{aligned} D_\text{V}&=\pi{r_1}^2\times v_1 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [ou $\pi{r_2}^2\times v_2$]}}} \\ &=\pi\times 0,060^2\times 0,70 \\ &=7,9\times 10^{-3}\ \text{m}^3\cdot \text{s}^{-1} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [soit\ : $7,9$ L$\cdot$ s$^{-1}$]}}} \end{aligned}$$

Astuce

Dans l’exemple précédent, on peut aussi remarquer que le rayon de la section 2 est $\green 3$ fois plus petit que celui de la section 1. L’aire $S_2$ est donc $\green 3^2=\red 9$ fois plus petite que $S_1$.

• Comme vitesse et aire sont inversement proportionnelles, on en déduit que la vitesse $v_2$ est $\red 9$ fois plus grande qu’au niveau de la section 1 :

$$v_2=\red 9\times v_1= 9\times 0,70=6,3\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}$$

Relation de Bernoulli et effet Venturi

Relation de Bernoulli

Définition

Relation de Bernoulli :

On considère l’écoulement, en régime permanent indépendant du temps, d’un fluide parfait et incompressible de masse volumique $\rho$ constante.
Soit $A$ et $B$ deux points situés sur une même ligne de courant. On a alors :

$$\dfrac 12 \rho {v_A}^2+\rho g z_A+P_A =\dfrac 12 \rho {v_B}^2+\rho g z_B+P_B$$

• Autrement dit, le long d’une ligne de courant :

$$\dfrac 12 \rho v^2+\rho g z+P=\text{constante}$$

Avec :

• $\rho$ la masse volumique du fluide en kilogramme par mètre cube $(\text{kg}\cdot \text{m}^{-3})$ ;
• $v$ la vitesse du fluide en mètre par seconde $(\text{m}\cdot \text{s}^{-1})$ ;
• $z$ l’altitude du fluide en mètre $(\text{m})$ ;
• $P$ la pression du fluide en pascal $(\text{Pa})$ ;
• $g$ l’intensité du champ de pesanteur en newton $(\text{N})$.

En considérant la relation de Bernoulli : $$\dfrac{1}{2}\rho v^2_A+\rho \text{g}z_A+P_A=\dfrac{1}{2}\rho v^2_B+\rho \text{g}z_B+P_B$$

Précisons que :

• les termes $\frac 12\rho {v_A}^2$ et $\frac 12\rho {v_B}^2$ représentent une énergie cinétique volumique (énergie cinétique par unité de volume) ;
• les termes $\rho gz_A$ et $\rho g z_B$ représentent une énergie potentielle de pesanteur volumique ;
• $P_A$ et $P_B$ représentent donc aussi une énergie volumique, due aux forces de pression.
• La relation de Bernoulli traduit ainsi une conservation d’énergie le long d’une même ligne de courant.
  Elle lie, en tout point d’une ligne de courant, la vitesse d’écoulement du fluide, l’altitude et la pression.

Astuce

Si le fluide est au repos, la vitesse d’écoulement est nulle. On s’aperçoit alors que l’on retrouve la loi fondamentale de la statique des fluides.

Effet Venturi

Considérons maintenant un fluide répondant aux mêmes conditions mais qui s’écoule dans une conduite horizontale de section droite d’aire $S_A$ possédant un étranglement de section droite d’aire $S_B$. On considère deux points $A$ et $B$ se trouvant sur la même ligne de courant et à une même hauteur.

D’après la relation de Bernoulli, nous pouvons écrire :

$$\dfrac 12 \rho {v_A}^2+\rho g z_A+P_A =\dfrac 12 \rho {v_B}^2+\rho g z_B+P_B$$

Nous savons que la conduite est horizontale alors : $z_A=z_B$.

• Ainsi, la relation de Bernoulli s’écrit :

$$\dfrac 12 \rho {v_A}^2+P_A =\dfrac 12 \rho {v_B}^2+P_B$$

• Comme nous l’avons dit précédemment, il y a conservation du débit volumique. Donc, l’aire $S_B$ étant inférieure à $S_A$, la vitesse d’écoulement $v_B$ est supérieure à $v_A$. Par conséquent :

$$\dfrac 12 \rho {v_B}^2 > \dfrac 12 \rho {v_A}^2$$

Ainsi, nous pouvons en déduire que la pression $P_B$ est inférieure à $P_A$ :

$$\dfrac 12 \rho {v_B}^2 > \dfrac 12 \rho {v_A}^2 \Rightarrow P_B < P_A$$

• Il se forme alors une dépression.

L’effet Venturi est une conséquence de la relation de Bernoulli et de la loi de conservation du débit volumique.

Définition

Effet Venturi :

L’effet Venturi est un phénomène où les particules d’un fluide parfait et incompressible se retrouvent accélérées au niveau d’un étranglement. Le fluide subit alors une dépression.

Prenons un exemple afin de mieux comprendre cet effet.

Exemple

La trompe à eau est un dispositif utilisé en chimie pour réaliser des filtrations ou des distillations sous pression réduite. Elle permet d’avoir une dépression par effet Venturi. Nous branchons la trompe à un robinet afin de faire circuler l’eau dans une canalisation cylindrique dont le diamètre diminue :

Nous allons étudier son principe.

• On considère que l’eau est un fluide parfait et incompressible, et que l’écoulement se fait en régime permanent indépendant du temps.

Données

• Le diamètre de la canalisation au point $A$ est de $2,0\ \text{cm}$, soit un rayon $r_A=1,0\ \text{cm}=1,0\times 10^{-2}\ \text{m}$.
• Le diamètre de la canalisation au point $B$ est de $3,0\ \text{mm}$, soit un rayon $r_B=1,5\ \text{mm}=1,0\times 10^{-3}\ \text{m}$.
• Le point $A$ est à l’altitude $z_A$ et $B$ à $z_B$.
  La distance $AB=z_A-z_B$ vaut $8,0\ \text{cm}$.
• Le débit volumique d’eau est de $300\ \text{L}\cdot \text{h}^{-1}$, soit $D_\text{V}=8,3\times 10^{-5}\ \text{m}^3\cdot \text{s}^{-1}$.
• La masse volumique $\rho$ de l’eau vaut $1,0\times 10^3\ \text{kg}\cdot \text{m}^{-3}$.
• Le champ de pesanteur a pour norme : $9,81\ \text{N}\cdot \text{kg}^{-1}$.
• Vitesse d’écoulement de l’eau aux points $A$ et $B$

Au point $A$, on a : $D_\text{V}=S_A\times v_A$, soit : $v_A=\dfrac {D_\text{V}}{S_A}$, avec :

• $v_A$ la vitesse d’écoulement du fluide au point $A$ ;
• $S_A$ l’aire de la section droite passant par $A$.
• Comme la canalisation est cylindrique, la section est un disque et on obtient :

$$\begin{aligned} v_A&=\dfrac {D_\text{V}}{\pi\times {r_A}^2} \\ &=\dfrac {8,3\times 10^{-5}}{\pi\times {(1,0\times 10^{-2})}^2} \\ &=\boxed{0,26\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}} \end{aligned}$$

• On obtient de la même façon la vitesse d’écoulement $v_\text{B}$ au point $B$ :

$$\begin{aligned} v_B&=\dfrac {D_\text{V}}{\pi\times {r_B}^2} \\ &=\dfrac {8,3\times 10^{-5}}{\pi\times {(1,5\times 10^{-3})}^2} \\ &=\boxed{12\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}} \end{aligned}$$

• Différence de pression entre $A$ et $B$

Dans les conditions données, on peut appliquer la relation de Bernoulli, avec $P_A$ et $P_B$ les pressions respectives en $A$ et $B$ :

$$\dfrac 12 \rho{v_A}^2+\rho g z_A+P_A=\dfrac 12 \rho {v_B}^2+\rho gz_B+P_B$$

Cette relation nous permet d’exprimer la différence de pression $\Delta P$ :

$$\begin{aligned} \Delta P=P_B-P_A&=\dfrac 12\rho{v_A}^2-\dfrac 12 \rho {v_B}^2+\rho g z_A-\rho gz_B \\ &=\dfrac 12\rho({v_A}^2-{v_B}^2)+\rho g (z_A-z_B) \end{aligned}$$

Nous avons calculé les valeurs de $v_A$ et $v_B$.
Nous ne connaissons pas les altitudes $z_A$ et $z_B$, mais nous connaissons leur différence : $z_A-z_B=8,0\times 10^{-2}\ \text{cm}$, et cela nous suffit.

• Avec aussi les valeurs de $\rho$ et $g$ connues, nous pouvons faire l’application numérique :

$$\begin{aligned} \Delta P=P_B-P_A&=\dfrac 12\times 1,0\times 10^3\times (0,26^2-12^2)+\ 1,0\times 10^3\times 8\times 10^{-2} \\ &=\boxed{-7,1\times 10^4\ \text{Pa}} \end{aligned}$$

$\Delta P$ est négatif, la pression en $B$ est donc inférieure à celle en $A$.

• Il y a donc une dépression qui se forme au point $B$, ce qui permet à l’air d’être aspiré.

En travaux pratiques, lorsqu’on réalise une filtration sous vide, la trompe à eau est reliée à un entonnoir de Büchner. Le liquide présent dans l’entonnoir est aspiré et la filtration se fait plus rapidement. Ce dispositif permet, par exemple, de séparer le solide et le liquide, et donc de sécher le solide plus rapidement.

L’effet Venturi se rencontre dans de nombreuses situations de la vie courante. Si cette dépression peut, suivant les circonstances, être sans gravité, elle peut parfois provoquer des dommages matériels comme l’arrachement des toitures.