Cours : Équations et inéquations

Rappels sur le calcul algébrique

Distributivité

Définition

Développer :

Développer, c’est transformer un produit de facteurs en une somme de termes.

Définition

Factoriser :

Factoriser, c’est transformer une somme de termes en un produit de facteurs.

Exemple

Quand on développe le produit $3x(2x+1)$ on obtient $6x^2+3x$.

Quand on factorise la somme $6x^2+3x$ on obtient $3x(2x+1)$.

• Voyons maintenant la propriété de la double distributivité :

Propriété

Exemple

• Développer l’expression $(4x+6)(3-7x)$.

$\begin{aligned} (4x+6)(3-7x)&=4x\times3+4x\times(-7x)+6\times3+6\times(-7x)\\ &=12x-28x^2+18-42x\\ &=-28x^2-30x+18 \end{aligned}$

Identités remarquables

Définition

Identités remarquables :

Les identités remarquables sont des égalités qui servent à simplifier certaines écritures ou à factoriser ou à développer des expressions.

• Carré d'une somme : $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
• Carré d'une différence : $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
• Produit de la somme par la différence : $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Exemple

• Pour développer $(3-2x)^2$, on utilise la deuxième identité remarquable 

$\begin{aligned} (3-2x)^2&=3^2-2\times3\times2x+(2x)^2\\ &=9-12x+4x^2\\ \end {aligned} $

• Pour factoriser $9x^2-1$ on utilise la troisième identité remarquable :

  $\begin{aligned} 9x^2-1&=(3x)^2-1^2\\ &=(3x+1)(3x-1)\\ \end{aligned}$

Reconnaître et résoudre des équations

Quelques formes usuelles d’équations

Astuce

Toutes les équations à résoudre en classe de seconde seront sous (ou pourront se ramener à) une des 4 formes suivantes :

• Premier degré (fonction affine) : $ax+b=0$
• Second degré (fonction carré) : $x^2=a$
• Produit nul (fonction polynôme du second degré) : $(ax+b)(cx+d)=0$
• Quotient (fonction homographique) : $\dfrac{ax+b}{cx+d}=0$

Identifier la forme des équations suivantes

Exemple

• $4x-3=2x+1$

On repère facilement que l’équation $(E_1)$ est une équation du premier degré. Nous pouvons en effet la transformer pour la ramener à la forme $ax+b=0$.

$\begin{aligned} &4x-3=2x+1\\ &\Leftrightarrow 4x-2x-3-1=0\\ &\Leftrightarrow 2x-4=0 \end{aligned}$

Exemple

• $5x^2+25=0$

On reconnaît une équation du second degré.
Transformons-la pour la ramener à la forme : $x^2=a$.
$\begin{aligned}\begin {aligned}\\ &5x^2+25=0\\ &\Leftrightarrow5x^2=-25\\ &\Leftrightarrow x^2=-\dfrac{25}{5}\\ &\Leftrightarrow x^2=-5 \end{aligned}\end{aligned}$

Exemple

• $3(x-1)^2=x(x-1)$

Pour l’équation $(E_3)$ il faut repérer un facteur commun : $(x-1)$

$\begin{aligned}\begin {aligned} &3(x-1)^2=x(x-1) \\ &\Leftrightarrow3(x-1)^2-x(x-1)=0 ::::::::::::::\text{on passe tout du même côté de l'égalité}\\ &\Leftrightarrow3(x-1)(x-1)-x(x-1)=0\\ &\Leftrightarrow(x-1)[3(x-1)-x]=0 :::::::::::::\text{on factorise par x-1}\\ &\Leftrightarrow(x-1)(3x-3-x)=0\\ &\Leftrightarrow(x-1)(2x-3)=0 ::::::::::::::::::::::::\text{on simplifie}\end{aligned}\end{aligned}$

• Cette fois, on reconnait bien une équation produit nul de la forme $(ax+b)(cx+d)=0$

Exemple

• $\dfrac{2x+4}{x-6}+8=0$

Pour l’équation $(E_4)$ on repère assez vite un quotient mais l’équation n’est pas encore sous la forme $\dfrac{ax+b}{cx+d}=0$.

$\begin{aligned}&\dfrac{2x+4}{x-6}+8=0 \\ &\Leftrightarrow\dfrac{2x+4}{x-6}+\dfrac{8(x-6)}{x-6}=0:::::::::::\text{on met au même dénominateur}\\ &\Leftrightarrow\dfrac{2x+4}{x-6}+\dfrac{8x-48}{x-6}=0\\ &\Leftrightarrow\dfrac{2x+4+8x-48}{x-6}=0::::::::::::::\text{on ajoute les deux quotients}\\ &\Leftrightarrow\dfrac{10x-44}{x-6}=0::::::::::::::::::::::::::::::\text{on simplifie} \end{aligned}$

• On arrive bien à une équation quotient de la forme $\dfrac{ax+b}{cx+d}=0$.

Méthodes de résolution

Maintenant que tu sais reconnaître les différents types d’équations et les ramener aux 4 formes connues, nous allons voir comment les résoudre.

• $5x^2+25=0\Leftrightarrow x^2=-5$

Rappel

Dans la fonction carré, lorsque $a$ réel :

• Si $a<0$ l’équation n’a pas de solution : $S={\varnothing}$
• Si $a=0$ l’équation a une unique solution : $\begin{aligned}S=\{0\}\end{aligned}$
• Si $a>0$ l’équation a deux solutions opposées : $\begin{aligned}S=\{-\sqrt{k}\;;\sqrt{k}\}\end{aligned}$

• Ici $a=-5<0$ donc l’équation $x^2=-5$ n’a pas de solution et on note $S={\varnothing}$.

• $3(x-1)^2=x(x-1)\Leftrightarrow (x-1)(2x-3)=0$

Rappel

Un produit est nul si est seuleument si l’un de ses facteurs est nul.

Il s’agit d’une équation produit nul que la propiété rappellée précédemment permet de résoudre :

$(x-1)(2x+3)\Leftrightarrow\ x-1=0\ \text{ou }\ 2x-3=0$

Les deux équations sont revenues à la forme 1 vue plus haut :

$\begin{aligned}\begin {aligned} x-1=0&\Leftrightarrow x=1\\ 2x-3=0&\Leftrightarrow -\dfrac{-3}{2}=\dfrac{3}{2} \end {aligned} \end{aligned}$

• L’équation $(x-1)(2x-3)=0$ a donc deux solutions et on note $\begin{aligned}S=\{1\;; \dfrac{3}{2}\}\end{aligned}$.

• $ \dfrac{2x+4}{x-6}+8=0\Leftrightarrow \dfrac{10x-44}{x-6}=0$

Il s'agit ici d'une équation quotient qui peut être résolue grâce à la propriété suivante :

Définition

Toute expression du type $\dfrac{ax+b}{cx+d}=0$ avec $a, b, c, d$ des réels et $cx +d\neq0$ est appelée équation quotient.

Propriété

Pour tout $x$ n’annulant pas l’expression $cx+d$, l’expression $\dfrac{ax+b}{cx+d}=0$ équivaut à $ax+b=0$.

• La première étape est de chercher la valeur de $x$ qui annule le dénominateur.

Ici $x-6\neq0\Leftrightarrow x\neq6$.

• On sait donc que 6 est une valeur interdite, l’équation existe uniquement sur $\mathbb{R}\backslash\lbrace6\rbrace$.
• Résolvons maintenant l’équation :

$\begin{aligned}\\ \dfrac{10x-44}{x-6}=0&\Leftrightarrow10x-44=0\\ &\Leftrightarrow x=-\dfrac{-44}{10}\\ &\Leftrightarrow x=\dfrac{44}{10} \\ &\Leftrightarrow x=\dfrac{22}{5} \end{aligned}$

• Comme cette solution est différente de la valeur interdite, on note $\begin{aligned}S=\{\dfrac{22}{5}\}\end{aligned}$.

Résolution algébrique d’inéquations

Apprendre à déterminer le signe d’un produit :

Pour résoudre une inéquation-produit du type $(ax+b)(cx+d)\geq0$ (ou $\leq\ ; >\ ;<$) il faut d’abord étudier le signe du produit $(ax+b)(cx+d)$.

• Pour cela, il faut étudier le signe de chacun des facteurs de ce produit puis appliquer la règle des signes.

Astuce

Pour se simplifier la tâche quand on souhaite résoudre une inéquation-produit, il est très utile (voire indispensable) de construire un tableau de signes.

Exemple

On cherche à résoudre l’inéquation $(-x+5)(2x+1)\geq0$

Le tableau comporte toujours une première ligne pour les valeurs de $x$ et une dernière ligne pour le signe du produit. Entre les deux il doit y avoir autant de lignes que de facteurs… ici 2.

• Dans la première ligne, on note les bornes $-\infty$ et $+\infty$ et les valeurs de $x$ qui annulent chacun des facteurs.

On a ici :
$\begin{array}{c c c}\\ -x+5=0\Leftrightarrow -x=-5\Leftrightarrow x=5\\ \text {et} \\ 2x+1=0\Leftrightarrow 2x=-1\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2} \end{array}$

• On met ensuite les zéros sous les valeurs de $x$ correspondantes.

Attention

Dans la première ligne du tableau de signe, pense à indiquer les valeurs de x pour lesquelles l’équation s’annule et à les ranger par odre croissant.

• On commence ensuite à remplir le tableau de signes :
• Pour le signe de $-x+5$ : $a=-1<0$ donc $-x+5$ est d’abord positif puis négatif.
• Pour le signe de $2x+1$: $a=2>0$ donc $2x+1$ est d’abord négatif puis positif.
• La dernière étape consiste à utiliser la règle des signes d’un produit :

Rappel

$\begin{aligned}\begin {aligned} +\text{ par }+&=+\\ -\text{ par }+&=-\\ +\text{ par }-&=-\\ -\text{ par }-&=+\\ \end{aligned}\end{aligned}$

• Une fois que le tableau est complété, il ne reste plus qu’à résoudre l’inéquation :

$\begin{aligned} (-x+5)(2x+1)\geq0→&S=[-\dfrac{1}{2}\ ;\ 5\ ]\\ (-x+5)(2x+1)>0→&S=[-\dfrac{1}{2}\ ;\ 5\ ]\\ (-x+5)(2x+1)\leq0→&S=]-\infty\ ;-\dfrac{1}{2}\ ]\ \cup\ [\ 5\ ;+\infty\ [\\ (-x+5)(2x+1)<0→&S=]-\infty\ ;-\dfrac{1}{2}\ [\ \cup\ ]\ 5\ ;+\infty\ [\\ \end {aligned}$

Résolution d’une inéquation-quotient :

Pour résoudre une inéquation-quotient, on étudie le signe du numérateur et du dénominateur puis on applique la règle des signes.
Comme pour l’inéquation-produit, il faut donc construire un tableau de signes.

Exemple

On cherche à résoudre l’inéquation $\dfrac{x-4}{-x+6}\geq0$

Avec ici :

$\begin{array}{c c c} x-4=0\Leftrightarrow x=4\\ et\\ -x+6=0\Leftrightarrow-x=-6\Leftrightarrow x=6 \end {array}$

• On place les zéros sous les valeurs de $x$ correspondantes et l’on va ainsi remarquer une petite différence par rapport au tableau de signes d’un produit.

En effet, on met le zéro sous le 6 sur la ligne de $-x+6$, mais sur la ligne du quotient, le dénominateur $-x+6$ ne doit pas être égal à zéro.

• 6 est donc une valeur interdite et il faut mettre une double-barre.

À retenir

Dans un tableau de signes ou dans un tableau de variations, une valeur interdite est symbolisée par une double barre.

Lorsqu’il y a une valeur interdite elle ne peut pas être comprise dans l’ensemble solution et le crochet doit donc toujours être ouvert pour cette valeur.

Pour le signe de $x-4$ : $a=1>0$ donc $x-4$ est d’abord négatif puis positif.

Pour le signe de $-x+6$ : $a=-1<0$ donc $-x+6$ est d’abord positif puis négatif.

• La dernière étape est d’utiliser la règle des signes d’un produit afin de compléter le tableau. Cela fait, il ne reste plus qu’à résoudre l’inéquation :

$\begin{aligned}\\ \dfrac{x-4}{-x+6}\geq0→&S=[\ 4\ ;\ 6\ [\\ \dfrac{x-4}{-x+6}>0→&S=\ ]\ 4\ ;\ 6\ [\\ \dfrac{x-4}{-x+6}\geq0→&S=]-\infty\ ;4\ ]\ \cup\ ]\ 6\ ;+\infty\ [\\ \dfrac{x-4}{-x+6}<0→&S=]-\infty\ ;4\ [\ \cup\ ]\ 6\ ;+\infty\ [ \end{aligned}$