Fiche de révision : Équations et inéquations

Rappels sur le calcul algébrique

Distributivité

Définitions :

• Développer, c’est transformer un produit de facteurs en une somme de termes.
• Factoriser, c’est transformer une somme de termes en un produit de facteurs.

Identités remarquables

Reconnaître et résoudre des équations

Quelques formes usuelles d’équations

Forme 1 : premier degré (fonction affine) $$ax+b=0$$

Forme 2 : second degré (fonction carré) $$x^2=a$$

Forme 3 : produit nul (fonction polynôme du second degré) $$(ax+b)(cx+d)=0$$

Forme 4 : quotient (fonction homographique) $$\dfrac {ax+b}{cx+d}=0$$

Méthodes de résolution

Forme 1 :

La valeur de $x$ solution des équations de la forme $ax+b=0$ est : $$x=-\dfrac{b}{a}$$

Forme 2 :

• Si $a < 0$, l’équation $x^2=a$ n’a pas de solution :

• Si $a=0$, l’équation $x^2=a$ a une unique solution :

• Si $a > 0$, l’équation $x^2=a$ a deux solutions opposées :

Forme 3 :

La résolution de l’équation se fait à l’aide de la propriété suivante :

Un produit est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs est nul.

Forme 4 :

Il s’agit d’une équation quotient qu’on résout grâce à la propriété suivante :

Toute expression du type $\dfrac {ax+b}{cx+d}=0$ avec $a,b,c,d$ réels et $c \neq 0$ est appelée équation quotient.

Pour tout $x$, n’annulant pas l’expression $cx+d$, l’expression $\dfrac{ax+b}{cx+d}=0$ équivaut à $ax+b=0$

Résolution algébrique d’inéquations

Résolution d’une inéquation produit

Il est très utile (voire indispensable) de construire un tableau de signes.

Pour résoudre une inéquation-produit du type $(ax+b)(cx+d) \geq 0$ (ou $> ; \leq ; <$), il faut d’abord étudier le signe du produit $(ax+b)(cx+d).$

Pour cela, il faut étudier le signe de chacun des facteurs de ce produit puis appliquer la règle des signes.

Résolution d’une inéquation-quotient

Comme pour l’inéquation-produit, il faut construire un tableau de signes.

On étudie le signe du numérateur et celui du dénominateur puis on applique la règle des signes qui est la suivante :

• $+$ par $+\rightarrow+$
• $-$ par $+ \rightarrow-$
• $+$ par $- \rightarrow -$
• $-$ par $- \rightarrow +$

Attention

Lorsqu’il y a une valeur interdite (représentée dans le tableau par une double-barre), cette valeur ne peut pas être comprise dans l’ensemble solution et le crochet doit donc toujours être ouvert en cette valeur.