Cours : Agrandissement et réduction d'une figure géométrique

Agrandissement et réduction de figures

Définition

Définition

Agrandissement et réduction d’une figure :

Agrandir ou réduire une figure, c’est multiplier toutes ses longueurs par un même nombre strictement positif $k$.

• Si $k$ est supérieur à $1$, on parle d’agrandissement.
• Si $k$ est compris entre $0$ et $1$, on parle de réduction.
• $k$ est appelé rapport (ou coefficient) d’agrandissement ou de réduction.

À retenir

Il y a ainsi proportionnalité entre les longueurs de la figure initiale et celles de la figure obtenue.

• $k$ est alors le coefficient de proportionnalité, qui est un rapport de longueurs.

Tableau de proportionnalité entre longueurs initiales et longueurs finales

Astuce

On peut retrouver les longueurs de la figure initiale en multipliant celles finales par l’inverse de $k$, $\frac 1k$ :

Des longueurs finales au longueurs initiales

On peut aussi remarquer le lien avec les échelles d’une reproduction (carte, maquette…). L’échelle est alors égale à $k$.

Exemple

Exemple d’agrandissement/réduction

La figure $\mathcal{F}_2$ est obtenue en multipliant toutes les longueurs de la figure $\mathcal{F}_1$ par $2$.

• $\mathcal{F}_2$ est un agrandissement de $\mathcal{F}_1$ de rapport $2$.

De la même manière, on peut dire que la figure $\mathcal{F}_1$ est obtenue en multipliant toutes les dimensions de la figure $\mathcal{F}_2$ par $\frac 12$.

• $\mathcal{F}_1$ est une réduction de $\mathcal{F}_2$ de rapport $\frac 12$.

Propriétés

Propriété

Un agrandissement ou une réduction conservent les angles, l’alignement et le parallélisme.

Exemple

Dans l’exemple ci-dessus, $\mathcal{F}_2$ est un agrandissement de $\mathcal{F}_1$. On peut écrire, par exemple :

• $\widehat {ABC}=\widehat {HIJ}$ ;
• $(EF) // (AG)$, donc $(LM)//(HN)$ ;
• $(DE)\bot (EF)$, donc $(KL) \bot (LM)$

Propriété

Dans un agrandissement ou une réduction de rapport $k$ :

• le périmètre initial est multiplié par $k$ ;
• l’aire initiale est multipliée par $k^2$ ;
• le volume initial est multiplié par $k^3$.

Attention

Il ne faut surtout pas croire, par exemple, que doubler les longueurs d’une figure revient à doubler l’aire ou le volume !

Pour bien comprendre pourquoi, quand on multiplie les longueurs par $k$, l’aire est multipliée par $k^2$ et le volume par $k^3$, regardons le parallélépipède rectangle ci-dessous représenté, dont on note :

• $h$ la hauteur ;
• $\mathcal B$ l’aire de la base, de longueur $L$ et de largeur $l$ ;
• $\mathcal V$ son volume.

On souhaite maintenant faire un agrandissement, ou une réduction, de rapport $k$ du pavé droit. Le solide obtenu sera aussi un pavé droit (un agrandissement ou une réduction conserve les angles). On note, pour ce pavé droit final :

• $h^{\prime}$ sa hauteur ;
• $\mathcal B^{\prime}$ l’aire de sa base, qui est donc aussi un rectangle, de longueur $L^{\prime}$ et de largeur $l^{\prime}$ ;
• $\mathcal V^{\prime}$ son volume.

Nous allons nous intéresser d’abord à l’aire de la base du nouveau pavé droit, puis à son volume.

• Aire de la base

Comme le rapport vaut $k$, on a :

• $\purple{L^{\prime}=k\times L}$ ;
• $\pink{l^{\prime}=k\times l}$.

L’aire $\mathcal B^{\prime}$ de la base du nouveau pavé droit vaut donc :

$$\begin{aligned} \mathcal B^{\prime}&=\purple {L^{\prime}}\times \pink{l^{\prime}} \\ &=\purple {k\times L}\times \pink{k\times l} \\ &=k\times k\times L\times l \\ &=k^2\times \red{L\times l} \end{aligned}$$

Or, $\red{L\times l}$, c’’est l’aire de la base du pavé droit initial :

$$\mathcal B^{\prime}=k^2\times \red {\mathcal B}$$

• L’aire du rectangle de base est donc bien multipliée par $k^2$ lors d’un agrandissement, ou une réduction, de rapport $k$.
• Volume du pavé droit

Toujours parce que le rapport vaut $k$, on a aussi : $\blue{h^{\prime}=k\times h}$.
En reprenant la formule de l’aire de sa base obtenue au point 1, le volume $\mathcal V^{\prime}$ du pavé droit transformé vaut ainsi :

$$\begin{aligned} \mathcal V^{\prime}&=\mathcal B^{\prime}\times \blue {h^{\prime}} \\ &=k^2\times L\times l\times \blue{k\times h} \\ &=k\times k^2\times L\times l\times h \\ &=k^3\times \red{L\times l\times h} \end{aligned}$$

Or, $\red{L\times l\times h}$, c’est le volume du pavé droit initial :

$$\mathcal V^{\prime}=k^3\times \red {\mathcal V}$$

• Le volume du pavé droit est donc bien multiplié par $k^3$ lors d’un agrandissement, ou une réduction, de rapport $k$.

Exemple

Par exemple, prenons un pavé droit initial avec $L=9\ \text{cm}$, $l=3\ \text{cm}$ et $h=6\ \text{cm}$ :

• l’aire de sa base est : $\mathcal B=27\ \text{cm}^2$ ;
• son volume est : $\mathcal V=162\ \text{cm}^3$.
• On lui opère une réduction de rapport $k=\frac 23$.

On note $\mathcal B^{\prime}$ l’aire de la base et $\mathcal V^{\prime}$ le volume du nouveau pavé droit.

$$\begin{aligned} \mathcal B^{\prime}&=\left(\dfrac 23\right)^2\times \mathcal B \\ &=\dfrac 4{9}\times 27\ \text{cm}^2 \\ &=12\ \text{cm}^2 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \mathcal V^{\prime}&=\left(\dfrac 23\right)^3\times \mathcal V \\ &=\dfrac 8{27}\times 162\ \text{cm}^3 \\ &=48\ \text{cm}^3 \end{aligned}$$

Réduction d’un pavé droit

Applications

Nous donnons dans cette petite partie trois petits exercices corrigés, pour vous entraîner à travailler sur des agrandissements et des réductions de figures.

• Pour cela, nous précisons des méthodes utiles à retenir.

À retenir

Pour déterminer le rapport d’agrandissement ou de réduction $k$ :

• on cherche deux segments correspondants dont on connaît les longueurs ;
• on en effectue le quotient :

$$k=\dfrac {\text{Longueur finale}}{\text{Longueur initiale correspondante}}$$

Pour déterminer des longueurs dans le cas d’un agrandissement ou d’une réduction de rapport $k$ :

• si on connaît la longueur initiale $i$ et que l’on cherche la longueur finale $f$ correspondante, on multiplie la longueur initiale par $k$ :

$$f=k\times i$$

• si on connaît la longueur finale $f$ et que l’on cherche la longueur initiale $i$ correspondante, on multiple la longueur finale par $\frac 1k$ :

$$i=\dfrac 1k\times f$$

Déterminer un rapport d’agrandissement et des longueurs

Énoncé

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $C$, et le triangle $DEF$, un agrandissement de $ABC$ de rapport noté $k$, avec $[DE]$ correspondant à $[AB]$, $[EF]$ à $[BC]$ et $[DF]$ à $[AC]$.

• On donne leurs représentations ci-dessous, avec certaines longueurs indiquées.

• Quelle est la mesure de l’angle $\widehat{DFE}$ ? En déduire la nature du triangle $DEF$.
• Déterminer le rapport d’agrandissement $k$.
• En déduire les longueurs $BC$ et $DE$.

Corrigé

• L’énoncé nous dit que $ABC$ est rectangle en $C$.
  Donc : $\widehat{ACB}=90\degree$.

Comme un agrandissement (ou une réduction) conserve les angles, et que l’angle qui correspond à $\widehat{ACB}$ est l’angle $\widehat{DFE}$, on a :

$$\widehat{DFE}=\widehat{ACB}=\boxed {90\degree}$$

• Le triangle $DEF$ est rectangle en $F$.
• Pour calculer $k$, on utilise la formule :

$$k=\dfrac {\text{Longueur finale}}{\text{Longueur initiale correspondante}}$$

On connaît les longueurs des côtés correspondants $[AC]$ et $[DF]$ :

$$\begin{aligned} k&=\dfrac{DF}{AC} \\ &=\dfrac {6,9}3 \\ &=\boxed{2,3} \end{aligned}$$

• $DEF$ est un agrandissement de $ABC$ de rapport $2,3$.
  On peut aussi donner le rapport sous forme de fraction : $k=\frac {23}{10}$.
• On connaît maintenant la valeur de $k$.

On en déduit les longueurs $DE$ et $BC$ – en utilisant l’écriture fractionnaire de $k$, car elle permet de faire les calculs de tête :

$$\begin{aligned} DE&=k\times AB \\ &=\dfrac{23}{10}\times 5 \\ &=\dfrac{115}{10} \\ &=11,5 \\ \\ BC&=\dfrac 1k\times EF \\ &=\dfrac 1{\frac{23}{10}}\times 9,2=\dfrac{10}{23}\times 9,2 \\ &=\dfrac {92}{23} \\ &=4 \end{aligned}$$

• On peut compléter la figure avec les éléments trouvés :

Astuce

L’exercice, ici, induisait de déterminer les longueurs $BC$ et $DE$ grâce au rapport d’agrandissement.
Mais, les deux triangles étant rectangles, les calculer grâce au théorème de Pythagore, pour ceux qui l’ont déjà étudié, aurait été correct.

Déterminer un rapport d’agrandissement et un volume

Énoncé

Hannah possède une maquette de la pyramide de Khéops, aussi appelée grande pyramide de Gizeh, à sa construction. C’est une pyramide régulière à base carrée, et sa maquette a les dimensions suivantes :

• longueur d’un côté de la base : $c_\text{maq}=39\ \text{cm}$ ;
• hauteur : $h_\text{maq}=25\ \text{cm}$.

Hannah se souvient que la hauteur $h_\text{pyr}$ de la pyramide réelle était d’environ $146\ \text{m}$.
Et elle souhaite, à partir de sa maquette, estimer le volume de la véritable pyramide.

Pour simplifier les calculs, on considère que la pyramide réelle est un « agrandissement » de la maquette de rapport $k$.

• Déterminer ce rapport d’agrandissement $k$.
• Calculer le volume $\mathcal V_\text{maq}$ de la maquette d’Hannah, qu’on exprimera en mètre cube.
• En déduire une estimation du volume $\mathcal V_\text{pyr}$ de la véritable pyramide.
  On exprimera le résultat en mètre cube, et on l’arrondira à l’unité près.

Corrigé

• On commence par calculer le rapport d’agrandissement $k$, en utilisant la hauteur, puisqu’on connaît celle de la maquette et celle de la pyramide réelle :

$$k=\dfrac {h_\text{pyr}}{h_\text{maq}}$$

Attention

Il faut exprimer les grandeurs dans la même unité !

Avec $h_\text{pyr}=146\ \text{m}=14\,600\ \text{cm}$, on obtient :

$$\begin{aligned} k&=\dfrac{14\,600}{25} \\ &=\boxed{584} \end{aligned}$$

• La pyramide réelle est un « agrandissement » de la maquette de rapport $584$.
• Pour calculer le volume $\mathcal V_\text{maq}$ de la maquette, on utilise la formule du volume d’une pyramide :

$$\begin{aligned} \mathcal V_\text{maq}&=\dfrac 13\times \text{aire de la base} \times \text{hauteur} \\ &=\dfrac 13\times c_\text{maq}^2\times h_\text{maq} \\ &=\dfrac 13\times 39^2\times 25 \\ &=12\,675 \end{aligned}$$

• Le volume de la maquette vaut :

$$12\,675\ \text{cm}^3 =\boxed{0,012675\ \text{m}^3}$$

• Pour déterminer le volume $\mathcal V_\text{pyr}$ de la pyramide réelle, on utilise la propriété sur les volumes vue précédemment :

$$\begin{aligned} \mathcal V_\text{pyr}&=k^3\times \mathcal V_\text{maq} \\ &=584^3\times 0,012675 \\ &\approx\boxed{2\,524\,564} \end{aligned}$$

• Hannah peut ainsi estimer, à partir de sa maquette, que le volume réel vaut environ deux millions et demi de mètres cubes.

Astuce

On a ici fait des arrondis ; en outre, la maquette ne respecte sans doute pas exactement les proportions réelles.
Mais c’est une estimation largement suffisante pour que Hannah puisse avoir un ordre de grandeur du volume colossal que représente la pyramide.

• Vous pouvez faire des recherches pour voir quel est le volume réel de la pyramide de Khéops, et vous assurer que l’ordre de grandeur trouvé est cohérent.

Déterminer un rapport de réduction à partir d’aires

Nous terminons par un exercice un peu plus difficile…

Énoncé

On considère une figure et sa réduction de rapport $k$.
On sait que :

• l’aire $\mathcal A$ de la figure initiale vaut : $\mathcal A=96\ \text{cm}^2$ ;
• l’aire $\mathcal A^{\prime}$ de la figure finale vaut : $\mathcal A^{\prime}=6\ \text{cm}^2$.
• Déterminer le rapport de réduction $k$.
  L’exprimer sous sa forme décimale.

Corrigé

D’après la propriété que nous avons vue, l’aire de la figure réduite vaut le produit de $k^2$ par l’aire de la figure initiale :

$$\begin{aligned} \mathcal A^{\prime}&=k^2\times \mathcal A \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }} 6&=k^2\times 96 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{D’où\ :\ }} k^2&=\dfrac 6{96}=\dfrac 1{16} \end{aligned}$$

$k$ est le nombre positif dont le carré vaut $\frac 1{16}$.

• $k$ est donc la racine carrée de $\frac 1{16}$ :

On peut utiliser la calculatrice, qui donne :

$$k=\sqrt{\dfrac 1{16}}=\boxed{0,25}$$

• La figure finale est donc une réduction de la figure initiale de rapport $k=0,25$.