Fiche de révision : La fonction carré

Fonction carré

• Fonction carré :
• La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ telle que $f(x)=x^2$ est appelée fonction carré.
• Sa courbe représentative est une parabole.
• L’origine du repère de coordonnées $(0\ ;\ 0)$ est le sommet de cette parabole.
• Propriétés de la fonction carré :
• La courbe représentative de la fonction carré est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• La fonction carré est décroissante sur l’intervalle $]-\infty\ ;\ 0]$ puis croissante sur $[0\ ;\ +\infty[$.
• Le minimum de la fonction carré est $0$, c’est-à-dire que pour tout $x$ on a $x^2\geq0$.
• Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.
• On dit que la fonction carré conserve l’ordre sur $[0\ ;\ +\infty[$.
• Si $0 < a < b$ alors $a^2 < b^2$ car la fonction carré est strictement croissante sur $[0\ ;\ +\infty[$.
• Deux nombres négatifs sont rangés dans le sens inverse de leurs carrés.
• On dit que la fonction carré inverse l’ordre sur $]-\infty\ ;\ 0]$.
• Si $a < b < 0$ alors $a^2 > b^2$ car la fonction carré est strictement décroissante sur $]-\infty\ ;\ 0]$.

Résolution d’équations et inéquations à l’aide de la fonction carré

• Résolution d’équation du type $x^2=k$, avec $k \in \mathbb R$ :
• si $k < 0$, l’équation $x^2=k$ n’a pas de solution : $S= \emptyset$ ;
• si $k=0$, l’équation $x^2=k$ a une unique solution : $S=\{0\}$ ;
• si $k > 0$, l’équation $x^2=k$ a deux solutions opposées : $S=\{-\sqrt k\ ;\ \sqrt k\}$
• Résolution d’inéquation du type $x^2 \leq k$, avec $k \in \mathbb R$ :
• si $k < 0$, l’inéquation $x^2 \leq k$ n’a pas de solutions : $S= \varnothing$ ;
• si $k=0$, l’inéquation $x^2 \leq k$ a une unique solution : $S= \lbrace 0 \rbrace$ ;
• si $k > 0$, l’inéquation $x^2 \leq k$ a pour solutions l’intervalle : $S=[-\sqrt{k}\ ;\,\sqrt{k}]$
• Lorsqu’il s’agit d’une inégalité stricte ($<$) l’ensemble des solutions $S$ sera un intervalle ouvert : c’est-à-dire les crochets seront « tournés » vers l’extérieur ; et pour $k=0$ la solution sera l’ensemble vide : $S= \varnothing$.
• Résolution d’inéquation du type $x^2 \geq k$, avec $k \in \mathbb R$ :
• si $k < 0$, l’inéquation $x^2 \geq k$ a pour solutions l’ensemble des réels : $S= \mathbb R$ ;
• si $k=0$, l’inéquation $x^2 \geq k$ a pour solutions l’ensemble des réels : $S= \mathbb R$ ;
• si $k > 0$, l’inéquation $x^2 \geq k$ a pour solutions l’intervalle : $S=]-\infty\ ;\ -\sqrt{k}\ ]\cup[\sqrt{k}\ ;\ +\infty[$
• Lorsqu’il s’agit d’une inégalité stricte ($>$) l’ensemble des solutions $S$ sera un intervalle ouvert : c’est-à-dire les crochets seront « tournés » vers l’extérieur ; et pour $k=0$ la solution sera l’ensemble : $S= \mathbb R^*$.

Astuce

Aidez-vous de la représentation graphique de la fonction carré et de la droite d’équation $y=k$ parrallèle à l’axe des abscisses pour résoudre des équations ou des inéquations.