Les nombres décimaux, rationnels et irrationnels
Introduction :
Dans ce cours, nous allons découvrir un nouvel ensemble inclus dans l’ensemble des nombres réels : les nombres irrationnels. Nous reverrons dans un premier temps les nombres décimaux, puis nous étudierons l’ensemble des nombres rationnels, afin d’aborder ensuite la spécificité des nombres irrationnels.
L’ensemble des nombres décimaux
L’ensemble des nombres décimaux
Les nombres décimaux
Les nombres décimaux
Définition
Nombre décimal :
Un nombre décimal est un nombre qui possède un développement décimal limité, c'est-à-dire qu’il s'écrit avec nombre fini de chiffres à droite de la virgule.
Les nombres décimaux sont les nombres de la forme :
$$\dfrac{a}{10^n} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $a\in \mathbb Z$ et $n\in \mathbb N$]}}}$$
- L’ensemble des nombres décimaux est noté : $\mathbb D$.
Exemple
- $3,41$ est un nombre décimal, car il possède deux chiffres après la virgule et peut s’écrire :
$$\dfrac{341}{10^2}$$
- $5$ est un nombre décimal, il peut s’écrire :
$$\dfrac{5}{10^0}$$
- $-0,032059$ est un nombre décimal et peut s’écrire :
$$-\dfrac{32\,059}{10^6}$$
Encadrement décimal d’un nombre réel à $10^{-n}$ près
Encadrement décimal d’un nombre réel à $10^{-n}$ près
Définition
Encadrement décimal :
Encadrer un réel $x$ revient à trouver deux nombres décimaux $a$ et $b$ tels que :
$$a < x <b$$
À retenir
- $x$ appartient à l’intervalle $]a\ ;\, b[$ : $x\in\ ]a\ ;\, b[$.
- $b-a$ est appelé amplitude de l’encadrement.
Les calculatrices donnent des valeurs approchées des nombres réels : ainsi, la calculatrice affiche $1,732050808$ pour $\sqrt 3$, que l’on peut traduire par différents encadrements :
- $1 < \sqrt 3 < 2$ : amplitude de $1$, soit $10^0$ ;
- $1,7 < \sqrt 3 < 1,8$ : amplitude de $0,1$, soit $10^{-1}$ ;
- $1,73 < \sqrt 3 < 1,74$ : amplitude de $0,01$, soit $10^{-2}$ ;
- $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$ : amplitude de $0,001$, soit $10^{-3}$ ;
- $1,7320 < \sqrt 3 < 1,7321$ : amplitude de $0,0001$, soit $10^{-4}$ ;
- et ainsi de suite.
Définition
Encadrement décimal d’un nombre réel à $10^{-n}$ près :
Encadrer un réel $x$ à $10^{-n}$ près, où $n$ est un entier naturel, revient à trouver deux nombres décimaux $a$ et $b$ tels que :
$$a < x < b \quad \textcolor{#A9A9A9}{\text{et}}\quad b-a=10^{-n}$$
Exemple
- Le nombre $\pi$ a pour encadrement à $10^{-4}$ près :
$$3,1415 < \pi < 3,1416$$
- $\frac{2}{3}$ a pour encadrement à $10^{-2}$ près :
$$0,66 < \dfrac{2}{3} < 0,67$$
- On peut prendre pour valeur approchée de $\sqrt 2$ une valeur comprise entre $1,41$ et $1,42$.
- Dans ce cas l’intervalle qui définit cet encadrement est $[1,41\,;\,1,42]$ et son amplitude est $0,01$, soit $10^{-2}$.
L'ensemble des nombres rationnels
L'ensemble des nombres rationnels
L’ensemble des nombres réels $\mathbb R$ peut se scinder en deux ensembles : les rationnels et les irrationnels.
Définition
Nombre rationnel :
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’exprimer sous la forme du quotient de deux nombres entiers $a$ et $b$ :
$$\dfrac{a}{b}\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $b\neq 0$]}}}$$
- L’ensemble des nombres rationnels est noté : $\mathbb Q$.
Exemple
- $-\frac{3}{2}$ ou $-1,5$ est un nombre réel, rationnel et aussi décimal.
- $\frac{1}{3}$ est un nombre réel et rationnel, mais pas décimal.
Démonstration
Montrons que $\frac 13$ n’est pas un nombre décimal.
Pour cela, nous allons utiliser un raisonnement par l’absurde :
- nous allons supposer que $\frac 13$ est un nombre décimal ;
- si nous arrivons à une absurdité, nous pourrons conclure que notre hypothèse initiale était fausse, et donc que $\frac 13$ n’est pas un nombre décimal.
Supposons donc que $\frac{1}{3}$est un nombre décimal. Alors il peut s’écrire sous la forme :
$$\dfrac 13=\dfrac{a}{10^m} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $a\in \mathbb Z$ et $m\in\mathbb N$]}}}$$
Nous obtenons donc :
$$3a=10^m$$
$a$ étant un entier, cela veut dire que $10^m$ est un multiple de $3$.
Or, c’est impossible, d’après le critère de la divisibilité par $3$.
- Notre hypothèse de départ est donc fausse.
$\frac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal.
Propriété
Tout nombre rationnel peut s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible :
$$\dfrac pq \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $p$ et $q\neq 0$ des entiers relatifs dont le seul diviseur positif commun est $1$]}}}$$
Voir aussi le cours : « Nombres entiers : multiples, diviseurs et nombres premiers ».
Propriété
Tout nombre rationnel possède une partie décimale périodique au bout d'une certaine décimale.
Exemple
- $\frac{2}{3}$ est un nombre rationnel :
$$\dfrac 23=0,\purple{666666666666666}…$$
- $\frac{1}{24}$ est un nombre rationnel :
$$\dfrac 1{24}=0,041\purple{666666666666666}…$$
- $\frac{2}{7}$ est un nombre rationnel :
$$\dfrac 27=0,\purple{285714}\green{285714}\blue{285714}…$$
Les nombres irrationnels
Les nombres irrationnels
Nombres irrationnels
Nombres irrationnels
Définition
Nombre irrationnel :
Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire sous la forme d’une fraction.
- Un nombre réel qui n’est pas rationnel est irrationnel.
Exemple
- $\pi \notin \mathbb Q$.
- $\sqrt 2 \notin \mathbb Q$.
Démonstration
Montrons que le nombre réel $\sqrt 2$ est irrationnel.
Nous allons là aussi utiliser un raisonnement par l’absurde.
- Supposons donc que $\sqrt 2$ est rationnel.
Alors il peut s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible (voir la propriété du paragraphe 2) :
$$\sqrt 2=\dfrac{p}{q} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $p$ et $q\neq 0$ des entiers relatifs]}}}$$
Nous pouvons donc écrire :
$$\begin{aligned} \left( \sqrt{2}\right)^2&=\left(\dfrac pq\right)^2 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{D’où\ : }} 2 &= \dfrac {p^2}{q^2} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ : }} p^2&=2q^2 \end{aligned}$$
- Posons $a=q^2$. Nous avons alors : $p^2=2a$.
Comme produit de deux nombres entiers, $a=q^2=q\times q$ est aussi un nombre entier. $p^2$ est donc pair.
- $p$ est donc aussi pair.
En effet, si $p$ était impair, $p^2$ serait impair. (Voir démonstration dans le cours « Nombres entiers : multiples, diviseurs et nombres premiers ».)
- Puisque $p$ est pair, il existe un entier relatif $k$ tel que : $p=2k$.
Nous avons trouvé plus haut : $p^2=2q^2$.
Nous obtenons donc :
$$\begin{aligned} (2k)^2&=2q^2 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ : }} 4k^2&=2q^2 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{et\ : }} 2k^2&=q^2 \end{aligned}$$
Posons $k^{\prime}=k^2$. Nous avons alors : $q^2=2k^{\prime}$.
Comme produit de deux nombres entier, $k^{\prime}$ est aussi un nombre entier. $q^2$ est donc pair.
- $q$ est donc aussi pair.
- Finalement, $p$ et $q$ sont pairs.
On peut donc simplifier la fraction $\frac pq$ par $2$.
Or, c’est impossible, car elle est supposée irréductible.
- Notre hypothèse de départ est donc fausse.
$\sqrt{2}$ n’est pas rationnel, c’est donc un irrationnel.
Propriété
Tout nombre irrationnel possède une partie décimale infinie et non périodique.
Exemples fournis par la géométrie
Exemples fournis par la géométrie
- La racine carrée de $2$
$\sqrt 2$ est un nombre irrationnel dont l’écriture décimale est $1,4142135623…$.
Il n’y a aucune périodicité dans sa partie décimale et il n’existe aucune fraction qui soit égale à ce nombre.
Il existe néanmoins une façon de construire géométriquement le nombre $\sqrt 2$ : il suffit de tracer un carré de côté de longueur $c = 1$.
- La mesure de sa diagonale $d$ est exactement égale à $\sqrt 2$.
Démonstration
En effet, en appliquant le théorème de Pythagore, on a :
$$\begin{aligned} d^2&=2c^2 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ : }} d^2&=2\times 1^2=2 \end{aligned}$$
$d$ étant la mesure d’une longueur, $d$ est positive.
- $d=\sqrt{2}$.
- Le nombre $\pi$
Le nombre $\pi$, que l’on arrondit généralement à $3,14$, a un nombre infini de décimales : dernièrement, c’est plus de $10\,000$ milliards de décimales qui ont été énumérées par de puissants ordinateurs.
On peut cependant le représenter géométriquement : il correspond exactement au périmètre d’un cercle de diamètre $1$.
- Le nombre d’or
Ce nombre fait parler de lui depuis des siècles, car on l’utilise dans de nombreux domaines tels que la géométrie, l’architecture, la peinture – on le trouve même dans certains éléments naturels ! Sa valeur est égale à :
$$\dfrac{\sqrt 5 + 1}{2}\approx 1,618$$
Conclusion :
L’ensemble des nombres réels peut se scinder en deux ensembles : l’ensemble des nombre rationnels, qu’on peut écrire sous la forme $\frac{a}{b}$ , et l’ensemble des nombres irrationnels, qu’on « ne peut pas écrire » sous forme de fraction.
Certains nombres irrationnels comme $\pi$, $\sqrt 2$ ou encore le nombre d’or sont très connus pour leurs propriétés algébriques ou géométriques.