Cours : Les vecteurs : multiplication et applications

Rappels

• Un vecteur est défini par un sens, une direction et une longueur.
• On le note $\overrightarrow{\text{AB}}$ ou $\overrightarrow{u}$. Dans $\overrightarrow{\text{AB}}$, A est le point origine et B le point extrémité.
• Le vecteur nul noté $\overrightarrow{0}$ a son point origine et son point extrémité confondus.
• $\overrightarrow{\text{AB}}$ est le vecteur opposé de $\overrightarrow{\text{BA}}$ ou de $-\overrightarrow{\text{AB}}$
• Soient $\text{A}(x_A\ ;y_A)$ et $\text{B}(x_B\ ;y_B)$ deux points du plan. Le vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ a pour coordonnées $\overrightarrow{\text{AB}}(x_B-x_A\ ;\ y_B-y_A)$.
• La norme du vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ est la longueur $\text{AB}$ : $\parallel\overrightarrow{\text{AB}}\parallel =\text{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
• Si les vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{CD}}$ sont égaux alors :
• ils ont la même direction, le même sens et la même norme,
• ils ont les mêmes coordonnées,
• ABDC est un parallélogramme.
• Pour additionner des vecteurs, on peut procéder :
• graphiquement, et déplacer un vecteur si besoin,
• par calcul, en additionnant les abscisses et les ordonnées des vecteurs entre elles,
• par calcul, avec la relation de Chasles

$\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{CB}}=\overrightarrow{\text{AB}}$.

Attention

La multiplication entre deux vecteurs n’est pas vue en seconde. On étudiera donc seulement la multiplication d’un vecteur par un nombre réel.

Multiplication d’un vecteur par un réel

Définition

Produit d’un vecteur :

Soit $\overrightarrow{u}$ un vecteur du plan et $k$ un nombre réel.

On appelle produit du vecteur $\overrightarrow{u}$ par le réel $k$ le vecteur noté $k\overrightarrow{u}$.

Implications graphique

​Graphiquement, il y a trois cas distincts :

• Si le réel $k=0$ et/ou que $\overrightarrow{u}$ est un vecteur nul alors le vecteur $k\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$.

À retenir

Pour tout vecteur $\overrightarrow{u}$ on a les égalités suivantes :

$$\begin{array}{c c c} 1\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}\\ \text{et}\\ (-1)\overrightarrow{u}=-\overrightarrow{u}\end{array}$$

Règles de calcul et colinéarité

Si on regarde les répercussions de la multiplication d’un vecteur par un réel au niveau des calculs, il y a quelques règles.

Pour tout vecteur $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ du plan et tout nombre $k$ et $k'$ :

$\begin{aligned} k(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) &=k\overrightarrow{u}+k\overrightarrow{v}\\ (k+k')\overrightarrow{u}&=k\overrightarrow{u}+k'\overrightarrow{u}\\ k(k'\overrightarrow{u})&=(kk')\overrightarrow{u} \end {aligned}$

Si $k\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ alors $k=0$ ou $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$

Définition

Vecteurs colinéaires :

Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan. Dire que les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires signifie que :

• les vecteurs ont la même direction ou bien l’un des deux vecteurs est le vecteur nul $\overrightarrow{0}$ ;
• les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel $k$ tel que $\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}$.

À retenir

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. Par contre, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Attention

Deux droites ne peuvent pas être colinéaires. Seuls les vecteurs le peuvent . Et inversement, les vecteurs ne peuvent pas être parallèles, même si, sur le principe, c’est la même chose.

Coordonnées

Soit le vecteur $\overrightarrow{u}$ du plan ayant pour coordonnées $\overrightarrow{u}(x\ ;\ y)$ et $k$ un réel. Le vecteur $k\overrightarrow{u}$ a pour coordonnées $k\overrightarrow{u}(kx\ ;\ ky)$.

Si l’on connait les coordonnées de deux vecteurs, il est alors possible de savoir s’ils sont colinéaires sans connaître la valeur du réel qui multiplie l’un pour trouver l’autre.

À retenir

Deux vecteurs $\overrightarrow{u}(x\ ;\ y)$ et $\overrightarrow{v}(x'\ ;\ y')$ du plan sont colinéaires si et seulement si : $$xy'-x'y=0$$

Exemple

• Soit les vecteurs $\overrightarrow{u}(-3\ ;\ 1)$, $\overrightarrow{v}(-2\ ;\ 1)$ et $\overrightarrow{w}(-6\ ;\ 2)$.

Lesquels sont colinéaires ?

$\overrightarrow{u}(-3\ ;\ 1)$ et $\overrightarrow{v}(-2\ ;\ 1)$ ne sont pas colinéaires car $(-3)\times1-(-2)\times1=-3+2=-1\neq0$

$\overrightarrow{u}(-3\ ;\ 1)$ et $\overrightarrow{w}(-6\ ;\ 2)$ sont colinéaires car $(-3)\times2-(-6)\times1=-6+6=0$

Applications

Parmi les exercices les plus fréquents sur les vecteurs, on demandera de placer ou construire un point défini par une relation vectorielle, de démontrer avec les vecteurs, de démontrer que trois points sont alignés ou encore que des droites sont parallèles.

Placer un point et démontrer avec les vecteurs

Exemple

$A$ et $B$ étant deux points distincts du plan, construire le point $M$ défini par la relation $2\overrightarrow{AM}-3\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$.

Astuce

Il faut essayer d’exprimer le vecteur $\overrightarrow{AM}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{AB}$ en utilisant les règles de calcul sur les vecteurs.

$\begin{aligned}\begin {aligned} 2\overrightarrow{AM}-3\overrightarrow{AB}&=\overrightarrow{0}\\ 2\overrightarrow{AM}&=3\overrightarrow{AB}\\ \overrightarrow{AM}&=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB} \end{aligned}\end{aligned}$

On arrive à exprimer $\overrightarrow{AM}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$.

On sait donc que les vecteurs sont colinéaires, ont la même direction et le même sens car $\dfrac{3}{2}>0$ et que les distances $AM$ et $AB$ sont telles que $\overrightarrow{AM}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}$.

Points alignés et milieu de segment

Théorème

• Trois points $A$, $B$ et $C$ du plan sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
• Trois points $A$, $B$ et $C$ du plan sont alignés si on peut exprimer le vecteur $\overrightarrow{AB}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{AC}$.

Théorème

$B$ est le milieu du segment $[AC]$ si l’une des expressions suivantes se vérifie :

$\begin{aligned}\begin {array}{c c c c} \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}\\ \text{ou}\\ \overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\\ \text{ou}\\ \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB} \end {array}\end{aligned}$

Astuce

Il est possible de vérifier que trois points sont alignés à l’aide d'une calculatrice (CASIO, TI).

Droites parallèles

Définition

Droite parallèles :

Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ du plan sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires .

Exemple

• Soit un triangle $ABC$.

On considère les points $M$ et $N$ définis par : $\overrightarrow{AM}=\dfrac{5}{4}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AN}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

Démontrer que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Astuce

Pour y parvenir, il faut voir s’il est possible d’exprimer le vecteur $\overrightarrow{MN}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{BC}$.

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}$

D’après la relation de Chasles :

$\begin{aligned} \overrightarrow{MN}&=-\frac{5}{4}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AN}\ \text {car}\ \overrightarrow{AM}=\frac{5}{4} \overrightarrow{AB}\\ \text {donc} \\ \overrightarrow{MA}&=-\overrightarrow{AM}=-\frac{5}{4} \overrightarrow{AB}\\ \overrightarrow{MN}&=-\frac{5}{4} \overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \ \text{car}\ \overrightarrow{AN}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\\ \overrightarrow{MN}&=\bigg(\dfrac{1}{2}-\frac{5}{4}\bigg)\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}\\ \overrightarrow{MN}&=-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}\\ \overrightarrow{MN}&=\frac{3}{4}\overrightarrow{BA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}\\ \overrightarrow{MN}&=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}\end{aligned}$

Ce qui signifie que les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires. Ce qui implique que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Ce qui signifie que les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires. Ce qui implique que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.