Fiche de révision : Les vecteurs : multiplication et applications

Multiplication d’un vecteur par un réel

Soit $\vec {u}$ un vecteur du plan et $k$ un nombre réel.

On appelle produit du vecteur $\vec u$ par le réel $k$ le vecteur noté $k\vec u$.

Graphique

Graphiquement, il y a trois cas distincts :

Si le réel $k$ est positif et $\vec u$ non nul, alors le vecteur $k\vec u$ a :

• la même direction que le vecteur $\vec u$ ;
• le même sens que le vecteur $\vec u$ ;
• pour norme le produit $k \times \parallel \vec u \parallel$.

Si le réel $k$ est négatif et $\vec u$ non nul, alors le vecteur $k\vec u$ a :

• la même direction que le vecteur $\vec u$ ;
• le sens opposé à celui du vecteur $\vec u$ ;
• pour norme le produit $- k \times \parallel\vec u\parallel$.

Si le réel $k$ est nul ou le vecteur $\vec u$ est un vecteur nul, alors le vecteur $k\vec u=\vec 0$.

Règles de calcul et colinéarité

• Pout tout vecteur $\vec u$ et $\vec v$ du plan et tous nombres $k$ et $k'$ :

$\begin{aligned}\begin {aligned}k(\vec u +\vec v )&=k\vec u+k\vec v \\ (k+k' )\vec u&=k\vec u+k'\vec u \\ k(k' \vec u )&=(kk' ) \vec u\end {aligned}\end{aligned}$

Si $k\vec u=0$ alors $k=0$ ou $\vec u=\vec 0$

• Les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ ont la même direction ou bien l’un des deux vecteurs est le vecteur nul $\vec 0$.

Colinéarité des vecteurs

Les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel $k$ tel que $\vec u= k\vec v$

Coordonnées

• Soit le vecteur $\vec u$ du plan ayant pour coordonnées $\vec u (x\ ; y)$ et $k$ un réel. Le vecteur $\vec {ku}$ a pour coordonnées $k\vec u (kx\ ; ky)$.
• Deux vecteurs $\vec u (x\ ; y)$ et $\vec v (x'\ ; y')$ du plan sont colinéaires si et seulement si :

$$xy'-x' y=0$$

Applications

Points alignés et milieu de segment

Trois points $A, B$ et $C$ du plan sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AC}$ sont colinéaires.

• On peut également vérifier que trois points sont alignés à l’aide d'une calculatrice (CASIO, TI).

Droites parallèles

Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ du plan sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {CD}$ sont colinéaires.