Limites d'une suite
Introduction :
Étudier le comportement d’une suite conduit à déterminer la limite d’une suite lorsque $n$ tend vers l’infini, c’est-à-dire lorsque les termes de la suite deviennent de plus en plus grands.
Nous verrons deux cas : celui où la limite de la suite est finie et vaut une valeur que l’on notera « $l$ », et le cas où la limite est infinie. La suite tendra alors vers + ou - l’infini.
Limite d’une suite
Limite d’une suite
Limite finie
Limite finie
On peut constater qu’à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite sont dans l’intervalle $]l - 0, 1\ ; l + 0, 1[$. Les termes de la suite s’accumulent autour d’une certaine valeur $l$ de cet intervalle. Ce phénomène traduit la notion de limite finie.
Définition
Limite finie :
Dire qu’un réel $l$ est limite d’une suite $(u_n)$ signifie que tout intervalle ouvert de centre $l$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
On écrit alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = l $
On dit que $u_n$ est convergente de limite $l$ (ou que $u_n$ converge vers $l$).
À retenir
Limites de suites de références :
$\lim\limits_{n \to +\infty} {1\over n} = 0$
$\lim\limits_{n \to +\infty} {1\over n^2} = 0 $
$\lim\limits_{n \to +\infty} {1\over n^3} = 0$
$\lim\limits_{n \to +\infty} {1\over \sqrt n} = 0 $
Limite infinie
Limite infinie
On constate cette fois-ci que tous les termes de la suite, à partir de l’indice $N_1$, appartiennent à l’intervalle ouvert $]A_1,+\infty[$ sur l’axe des ordonnées. Autrement dit, plus $n$ est grand, plus les termes $u_n$ arrivent à dépasser tout nombre $A$.
Définition
Limite en $+\infty$ :
Dire qu’une suite $(u_n)$ a pour limite $+\infty$ signifie que tout intervalle ouvert de la forme $]A; +∞[$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
On écrit : $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$
On dit alors que $(u_n)$ est divergente ou que $(u_n)$ diverge vers $+∞$.
Définition
Limite en $-\infty$ :
Dire qu’une suite $(u_n)$ a pour limite $-∞$ signifie que tout intervalle ouvert de la forme $] - \infty\ ; A[$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
On écrit : $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = - \infty$
On dit alors que $(u_n)$ est divergente ou que $(u_n)$ diverge vers $-∞$.
À retenir
Limites de suites de références :
$\lim\limits_{n \to +\infty} {n} = +\infty$
$\lim\limits_{n \to +\infty} {n^2} = +\infty$
$\lim\limits_{n \to +\infty} {n^3} = +\infty$
$\lim\limits_{n \to +\infty} {\sqrt n} = +\infty$
Théorème
La limite d’une suite, si elle existe, est unique.
Attention
Une suite n’a pas nécessairement de limite. C’est le cas pour les suites alternées, c’est-à-dire qui alternent entre deux valeurs, ou pour celles dont les valeurs oscillent.
Exemple
La suite $(u_n)$ définie par $u_n=(-1)^n$ alterne entre les valeurs $-1$ et $1$, tout dépend de la parité de l’entier $n$.
- si $n$ est pair, $u_n=1$
- sinon $u_n=-1$
- Cette suite n’a donc pas de limite.
À ce niveau, on peut déterminer la limite d’une suite en utilisant la définition de limite, mais il existe d’autres moyens plus efficaces pour déterminer la limite éventuelle d’une suite, comme la comparaison de deux suites entre elles ou le théorème des gendarmes.
Limite et comparaison
Limite et comparaison
Théorème
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites. Si pour tout entier naturel $n$ supérieur à un certain entier naturel $n_0$ :
- $u_n \leq v_n$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = +\infty$
- $u_n \leq v_n$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = - \infty$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$
Le théorème des gendarmes
Le théorème des gendarmes
Ce théorème permet de trouver la limite d’une suite dans le cas particulier où la suite est encadrée par deux autres suites.
Théorème
On considère trois suites $(u_n)$, $(v_n)$, et $(w_n)$.
Si pour tout entier naturel supérieur à un certain entier naturel $p$, $v_n \leq u_n \leq w_n$ et si les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite $l$, alors la suite $(u_n)$ converge vers $l$.
Les suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ avec $v_n \leq u_n \leq w_n$ sont représentées ci-dessous.
Les suites $(v_n)$ et ($w_n$) convergent vers le réel $l$. On voit que c’est aussi le cas de la suite $(u_n)$ :
Exemple
Déterminer, si elle existe, la limite de la suite $(u_n)$ définie par : $u_n={ {n+(-1)^n} \over n}$ pour tout $n \geq 1$.
Pour utiliser le théorème des gendarmes, il faut encadrer la suite $(u_n)$. Pour cela on doit écrire des inégalités.
- Pour tout $n \geq 1$, $-1 \leq (-1)^n\leq1$
- On ajoute $n$ à chaque membre : $\quad n-1 \leq n + (-1)^n \leq n+1$
- On divise tout par $n$ car $n > 0$ : ${n-1 \over n} \leq {n + (-1)^n \over n } \leq {n+1 \over n}$
- Ce qui équivaut à : $1-{1 \over n} \leq u_n \leq {1+ {1 \over n}}$
- Or $\lim\limits_{n \to +\infty} {1\over n} = 0$donc $\lim\limits_{n \to +\infty} {\left(1-{1\over n}\right)} = \lim\limits_{n \to +\infty} {\left(1+{1\over n}\right)} =1$
- Donc d’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 1$
Opérations sur les limites
Opérations sur les limites
Lorsque deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ ont des limites connues, on peut en général en déduire la limite :
- de la suite somme $(u_n+v_n)$ : la limite correspond à la somme des limites de $(u_n)$ et $(v_n)$ ;
- de la suite produit $(u_n \times v_n)$ : la limite correspond au produit des limites de $(u_n)$ et $(v_n)$ ;
- et de la suite quotient $({u_n \over v_n})$ : la limite correspond au quotient des limites de $(u_n)$ et $(v_n)$.
On retrouve ci-dessous les tableaux des règles opératoires. Une case contenant FI (forme indéterminée) correspond à un cas où il n’y a pas de règle générale.
Somme de deux suites
Somme de deux suites
Exemple
Déterminer la limite de $ -n+5$
La limite de $-n $ est $-\infty$ et la limite de 5 est 5.
- Donc, par addition des limites :
$\lim\limits_{n \to +\infty} {-n+5} = - \infty$
Produit de deux suites
Produit de deux suites
Exemple
Calculer la limite de $u_n = {-n \times \Big( {{1\over { \sqrt n}} +5 }}\Big)$
On a $\lim\limits_{n \to +\infty} -n= -\infty$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} {{1\over \sqrt n}+5} = 5$ car $\lim\limits_{n \to +\infty} {1\over \sqrt n} = 0 $
- Donc par produit : $\lim\limits_{n \to +\infty} {-n \times \Big({1\over \sqrt n}+5}\Big)= - \infty$
Quotient de deux suites
Quotient de deux suites
Exemple
Calculer la limite de $u_n = { {2\over 3n+5 }}$
On a $\lim\limits_{n \to +\infty} 2= 2$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} \big({3n+5}\big) = +\infty$
- Donc par produit : $\lim\limits_{n \to +\infty} { {2\over 3n+5 } }= 0$
Formes indéterminées
Formes indéterminées
Les cas des formes indéterminées nécessite une étude particulière. Pour les mémoriser, on les note « $\infty - \infty$ », « $0 \times \infty$ », « $\infty \over \infty$ » et « $0\over0$ », mais ces écritures ne doivent pas être utilisées dans une rédaction.
Astuce
Le principe est toujours le même pour « lever » une indétermination :
- il faut changer l’écriture de la suite en factorisant pour la plupart du temps par le terme de plus haut degré.
Exemple
$u_n = 3n^2-n-5 $
On a $\lim\limits_{n \to +\infty} {3n^2} = +\infty$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} {(-n- 5)} = -\infty$.
Il s’agit donc d’une forme indéterminée $\infty - \infty$.
- On factorise par le terme de plus haut degré, c’est-à-dire $n^2$ :
$$u_n = n^2 \Big(3-{1\over n} -{5\over n^2} \Big)$$
- On calcule les limites des termes :
$$\lim\limits_{n \to +\infty} {n^2} = +\infty$$
$\lim\limits_{n \to +\infty} 3- {1\over n} -{5\over n^2 }= 3$ car $\lim\limits_{n \to +\infty} {1\over n} = \lim\limits_{n \to +\infty} {5\over n^2} =0$
- Donc par produit $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n= +\infty$
Exemple
$u_n = {3n+5 \over {-2n+7}}$
On a $\lim\limits_{n \to +\infty} ({3n+5}) = +\infty$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} ({- 2n+7}) = -\infty$.
Il s’agit d’une forme indéterminée $\infty \over \infty$.
- On factorise le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré, c’est-à-dire $n$ : $u_n = {n(3+{5\over n} ) \over {n(- 2+{7\over n })}} = {3+{5\over n} \over {-2+{7\over n }}}$
- On calcule les limites du numérateur et du dénominateur : $\lim\limits_{n \to +\infty} \Big(3+{5\over n }\Big)= 3$et$\lim\limits_{n \to +\infty} \Big(-2+{7\over n }\Big)= -2$car$\lim\limits_{n \to +\infty} {5\over n} = \lim\limits_{n \to +\infty} {7\over n} =0$
- Donc par quotient $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n= -{3 \over 2}$
Astuce
D’une manière générale, lorsque l’on veut déterminer la limite d’un polynôme ou d’un quotient de polynômes, on peut « sauter » l’étape de la factorisation et garder le terme de plus haut degré.
Exemple
Par exemple $\lim\limits_{n \to +\infty} {n- \sqrt n} = \lim\limits_{n \to +\infty} {n} = +\infty$ car $n$ est le terme de plus haut degré.
Exemple
De même, $\lim\limits_{n \to +\infty} { {2n^2+1\over n^2+n } }= \lim\limits_{n \to +\infty} { {2n^2\over n^2 }} = 2$