Fiche de révision : Lois à densité

Loi binomiale

Définitions :

• Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues appelées « succès » et « échec ».

On dit qu’une épreuve de Bernouilli est de paramètre $p $ si la probabilité de succès est $p$.

• Un schéma de Bernoulli est une expérience consistant à répéter $n$ fois la même épreuve de Bernoulli ($n$ entier naturel non nul).

Un schéma de Bernoulli a deux paramètres : $n$ le nombre de répétitions et $p $ la probabilité de succès de l’épreuve répétée.

Définitions :

• Si une expérience suit un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p $, on associe à l’expérience la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre total de succès.
• La loi de probabilité de $X$ est appelée loi binomiale de paramètres $n$ et $p $. On la note $B(n,p)$.
• Si une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale $B(n,p)$, alors pour tout entier $k$ compris entre 0 et $n$, la probabilité que $X$ soit égale à $k$ est :

$$p(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$

Loi à densité et loi uniforme

Définitions :

• On appelle fonction densité (ou densité de probabilité) sur l’intervalle $I$, toute fonction $f$ définie, continue et positive sur $I$ telle que l’intégrale de $f$ sur $I$ soit égale à 1.
• Une variable aléatoire continue $X$ sur un intervalle $I$ est définie par la donnée d’une fonction densité $f$. La probabilité pour que $X$ appartienne à un intervalle $\left[ a\ ; b \right]$ de $I$ est égale à l’aire sous la courbe de $f$ sur $\left[ a\ ; b \right]$, soit $\int_a^b f(t)dt$.

Propriétés :

Pour tous réels $a$ et $b$ appartenant à l’intervalle $I :$

• $p(X=a)=0$ (puisque $\int_a^a f(t)dt = 0$) ;
• $p(X>a)=1-p(X \leq a)$ et $p(a < X < b)=p(X < b)-p(X \leq a)$ ;

Pour une loi continue, dans les calculs de probabilités, on peut remplacer les inégalités larges par des inégalités strictes et réciproquement.

Définition : loi uniforme

$a$ et $b$ désignent deux nombres réels distincts avec $a < b$.

Dire qu’une variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur l’intervalle $\left[ a,b \right]$ signifie que la densité de probabilité est une fonction constante sur $\left[ a,b \right]$. La densité de probabilité de la loi uniforme sur $\left[ a\ ; b \right]$ est la fonction $f$ définie sur $\left[ a\ ; b \right]$ par :

$$f(x) = \dfrac{1}{b-a}$$

Propriété :

$X$ est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur $\left[ a\ ; b \right]$. pour tout intervalle $\left[ c\ ; d \right]$ inclus dans $\left[ a\ ; b \right] :$

$p(c \leq X \leq d)= \dfrac{d-c}{b-a}$

Définition : espérance d’une variable aléatoire

• L’espérance d’une variable aléatoire $X$ de densité $f$ sur $\left[ a,b \right]$ est le nombre réel :

$E(X) = \int_a^b tf(t)dt$

• Dans le cas d’une loi uniforme, on a :

$E(X) = \dfrac{a+b}{2}$

Loi exponentielle

Définition : loi exponentielle

$\lambda$ désigne un nombre réel strictement positif.

Dire qu’une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ sur $\left[ 0\ ; + \infty \right[$ signifie que sa densité de probabilité est définie sur $\left[ 0\ ; + \infty \right[$ par :

$$f(x) = \lambda e^{- \lambda x }$$

Propriétés :

$X$ est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

Pour tout intervalle $[ a\ ; b ]$ inclus dans $[ 0\ ; + \infty [$ :

• $p(A \leq X \leq B)=e^{- \lambda a}-e^{- \lambda b}$;
• $p(X \geq c)= e^{- \lambda c}$.

Définition : espérance d’une variable aléatoire et loi exponentielle

L’espérance d’une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est : $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$.

Lois normales

Définition : loi normale centrée réduite

• Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale centrée réduite, notée $N(0\ ;1)$ si, pour tous réels $a$ et $b$ tels que $a < b$ :

$p(a \leq X \leq b) = \int_a^b \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\frac{-x^2}{2}}dx$

• $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) =\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\frac{-x^2}{2}}$ est la fonction densité de la loi $N(0\ ;1)$.

Propriétés : Pour la loi normale centrée réduite $N(0\ ;1)$ :

• le maximum de $f$ est atteint en $0$ ;
• la courbe $C_f$ de la densité de probabilité $f$ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ;
• l’aire sous la courbe est égale à 1.

Définition : loi normale $N( \mu, \sigma^2)$

• Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale $N( \mu, \sigma^2)$ si la variable aléatoire $\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite $N(0,1).$
• Son espérance est $E(X) = \mu$.
• Son écart-type $\sigma$ et donc sa variance est $\sigma^2$.

Propriété :

Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale $N( \mu, \sigma^2)$, on a les approximations suivantes :

• $p(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0,68$ ;
• $p(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0,95$ ;
• $p(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0.997$.