Produit scalaire
Introduction :
Le produit scalaire est nouveau en première mais il est lié au cours sur les vecteurs puisque l’on calcule toujours le produit scalaire de deux vecteurs. Il est également lié au cours sur la trigonométrie, notamment aux formules d’addition et de duplication.
Nous commencerons cette leçon par la définition et les propriétés du produit scalaire de deux vecteurs du plan. Nous parlerons ensuite des différentes expressions utilisées pour finir par les applications du produit scalaire.
Produit scalaire de deux vecteurs du plan
Produit scalaire de deux vecteurs du plan
Définitions
Définitions
Définition
À retenir
La norme d’un vecteur correspond à la distance entre les deux points extrémités de ce vecteur.
Définition
Produit scalaire de deux vecteurs du plan :
Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs du plan.
On appelle produit scalaire de $\vec u$ par $\vec v$, le nombre réel noté $\vec u.\vec v$ (se lit u scalaire v) égal à :
$0$ si l’un des deux vecteurs $\vec u$ ou $\vec v$ est nul
$|\vec u|\times|\vec v|\times cos \big(\vec u,\vec v\big)$ si $\vec u≠\vec 0$ et $\vec v≠\vec 0$
Exemple
Sur cette figure $\big|\overrightarrow{AB}\big|=AB=5\text{ et }\big|\overrightarrow{AC}\big|=AC=3$, donc le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ vaut :
$\begin{aligned} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}&=AB×AC×\cos\ (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\\ &=5×3×\cos\ \Big(\dfrac\pi3\Big) \\ &=5×3×\dfrac12 \\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}&=\dfrac{15}2 \end{aligned}$
Cas particuliers
Cas particuliers
Propriété
Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires :
Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs colinéaires :
- Si $\vec u$ et $\vec v$ sont de même sens, alors $\vec u \times \vec v=|\vec u|\times|\vec v|=AB\times AC$ (car $\cos\ (\vec u,\vec v)=\cos 0 =1$)
- Si $\vec u$ et $\vec v$ sont de sens contraire, alors $\vec u \times \vec v=-|\vec u|\times|\vec v|=-AB\times AC$ (car $\cos\ (\vec u,\vec v)=\cos \pi =-1$)
Propriété
Carré scalaire :
Soit un vecteur $\vec u$.
Le carré scalaire de $\vec u$, noté $\vec u^2$, est le nombre réel défini par $u^2=\vec u \cdot \vec u$ On a $u^2=|\vec u ^2|$.
Propriétés de calcul
Propriétés de calcul
Propriété
Quels que soient les vecteurs $\vec u,\vec v\text{ et }\vec w$, on a :
$\vec u \cdot \vec v=\vec v \cdot \vec u$
$\vec u \cdot \big(\vec v+\vec w\big)=\vec u \cdot \vec v+\vec u \cdot \vec w$
$\vec u \cdot \big(k\vec v\big)=\big(k\vec u\big) \cdot \vec v=k\ \vec u \cdot \vec v$
$\big(\vec u+\vec v\big)^2=\vec u^2+2\ \vec u \cdot \vec v+\vec v^2$
$\big(\vec u-\vec v\big)^2=\vec u^2-2\ \vec u \cdot \vec v+\vec v^2$
$\big(\vec u+\vec v\big)\big(\vec u-\vec v\big)=\vec u^2-\vec v^2$
Lien entre produit scalaire et orthogonalité
Lien entre produit scalaire et orthogonalité
Rappel
On dit que deux vecteurs non nuls sont orthogonaux lorsque leurs directions sont orthogonales.
Propriété
Deux vecteurs sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est nul.
Exemple
En effet,
$\begin{aligned}\vec u \cdot \vec v&=|\vec u|×|\vec v|×\cos \big(\vec u, \vec v\big)\\&= AB×AC×\cos \Big(\dfrac\pi2\Big)\\&=AB\times AC\times 0=0\end{aligned}$
À retenir
Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur du plan.
Autres expressions du produit scalaire
Autres expressions du produit scalaire
Projection orthogonale
Projection orthogonale
L’expression de base du produit scalaire de deux vecteurs est $\vec u.\vec v=|\vec u|×|\vec v|×\cos \big(\vec u, \vec v\big)$ mais il est parfois impossible de calculer le produit scalaire de deux vecteurs grâce à cette expression.
En effet, les énoncés ne donnent pas toujours l’angle $\big(\vec u,\vec v\big)$
Définition
Projection orthogonale :
Soit trois points $A,\ B\text{ et }C$. On appelle projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ le point $H$ d’intersection entre $(AB)$ et la perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$.
Propriété
Si $\Big(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\Big)<\dfrac\pi2$ alors $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}=AB×AH$
Propriété
Si $\Big(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\Big)>\dfrac\pi2$ alors $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}=-AB×AH$
Exemple
On cherche à calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ mais on ne connaît pas l’angle formé par ces deux vecteurs.
On va donc devoir utiliser le point $H$ qui est le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$.
$\begin{aligned}\overrightarrow{AB} \times\overrightarrow{AC}&=\overrightarrow{AC} \times\overrightarrow{AB}\\&=AC \times AH\\&=7 \times 4\\&=28\end{aligned}$
Produit scalaire dans une base orthonormée
Produit scalaire dans une base orthonormée
Il est également possible de calculer le produit scalaire de deux vecteurs dans une base orthonormée grâce aux coordonnées de ces vecteurs.
Propriété
Dans un repère orthonormé, soient deux vecteurs $\vec u\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$
Alors :
$\vec u \cdot \vec v=xx'+yy'$
$|\vec u|^2=x^2+y^2$
Exemple
Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(-1 ;\ 2),\ B(3 ;\ 7)\text{ et }C(4 ;\ -5)$. On cherche à calculer $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} :$
- Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont :
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} {x_B-x_A} \\ {y_B-y_A}\end{pmatrix} =\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3-(-1) \\ 7-2\end{pmatrix}=\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}$
- Les coordonnées de $\overrightarrow{AC}$ sont :
$\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} {x_C-x_A} \\ {y_C-y_A}\end{pmatrix}=\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}4-(-1) \\ -5-2\end{pmatrix}=\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}5 \\ -7\end{pmatrix}$
- Alors $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}=4×5+5×(-7)=20-35=-15$
Expression avec les normes
Expression avec les normes
Propriété
Si $\vec u$ et $\vec v$ sont deux vecteurs du plan,
$\begin{aligned}\vec u \times \vec v&=\dfrac12\big[|u|^2+|v|^2-|u-v|^2\big] \\ &=\dfrac12\big[|u+v\parallel^2-|u|^2-|v|^2\big]\end{aligned}$
En particulier, $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}=\dfrac12\big(AB^2+AC^2-BC^2\big)$
Applications du produit scalaire
Applications du produit scalaire
Calculs d’angles et de longueurs
Calculs d’angles et de longueurs
L’une des applications du produit scalaire est le calcul d’angles et de longueurs. Pour cela, il existe deux théorèmes :
Théorème
Théorème de la médiane :
Soit $A,\ B\text{ et }M $ trois points du plan et $I$ le milieu de $[AB]$
On a alors $MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac12AB^2$
Théorème
Théorème d’Al-Kashi :
Soit $ABC$ un triangle. En posant $a=BC,\ b=AC\text{ et }c=AB$ on a :
$a^2=b^2+c^2-2bc \cos \widehat A$
$b^2=a^2+c^2-2ac \cos\widehat B$
$c^2=a^2+b^2-2ab \cos\widehat C$
Exemple
Soit le triangle $ABC$.
L’objectif est de déterminer la longueur $AB$ puis une valeur approchée de l’angle $\widehat{CAB}$.
Pour calculer la longueur $AB$, on utilise le théorème de la médiane.
On a ici :
$\begin{array}{rl} \\ &BA^2+BC^2=2BI^2+\dfrac12AC^2 \\ \Leftrightarrow&BA^2+7^2=2×6^2+\dfrac12×4^2 \\ \Leftrightarrow&BA^2=2×36+\dfrac12×16-49 \\ \Leftrightarrow&AB^2=31 \\ \Leftrightarrow&AB=\sqrt{31} \end{array}$
Puis, pour donner une valeur approchée de l’angle $\widehat{CAB}$, comme on connaît les longueurs des trois côtés du triangle, on utilise le théorème d’Al-Kashi :
$\begin{array}{cl} \ &a^2=b^2+c^2-2bc\cos \widehat A \\ ⇔&BC^2=AC^2+AB^2-2×AC×AB×\cos \widehat{CAB} \\ \Leftrightarrow&7^2=4^2+\sqrt{31}^2-2×4×\sqrt{31}×\cos \widehat{CAB} \\ \Leftrightarrow&2×4×\sqrt{31}×\cos \widehat{CAB} =4^2+\sqrt{31}^2-7^2 \\ ⇔&8\sqrt{31}\cos \widehat{CAB} =16+31-49\\ \Leftrightarrow&\cos \widehat{CAB} =\dfrac{-2}{8\sqrt{31}} \\ \Leftrightarrow& \widehat{CAB}≈92,57\degree≈1,62\ rad \end{array}$
Équations de droites
Équations de droites
Définition
Vecteur normal à une droite :
Soit $\vec u$ un vecteur non nul et $\mathscr D$ une droite.
On dit que $\vec u$ est un vecteur normal à $\mathscr D$ si $\vec u$ est orthogonal à un vecteur directeur de $\mathscr D$.
Propriété
Soit un vecteur non nul $\vec n\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}$ et soit $\mathscr D$ une droite.
$\vec n$ est un vecteur normal à $\mathscr D$ si, et seulement si, $\mathscr D$ admet une équation cartésienne de la forme $ax+by+c=0$
Exemple
Soit $A(2\ ; -1) ;$ on souhaite déterminer une équation de la droite $\mathscr D$ de vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix} 1\\3 \end{pmatrix}$ et passant par le point $A$.
On pose $M(x\ ;y)$ appartenant à la droite $\mathscr D$.
Le vecteur $\overrightarrow{AM}$ est alors un vecteur directeur de $\mathscr D$.
$\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x_M-x_A\\y_M-y_A \end{pmatrix} =\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x-2\\y+1 \end{pmatrix}$
Comme $\vec n$ est vecteur normal à $\mathscr D$, $\vec n$ est orthogonal à un vecteur directeur de $\mathscr D$.
$\begin{array}{rl} \ &AM \times \vec n=0 \\ \Leftrightarrow&(x-2)×1+(y+1)×3=0 \\ \Leftrightarrow&x-2+3y+3=0 \\ \Leftrightarrow&x+3y+1=0 \end{array}$
Ainsi, $x+3y+1=0$ est une équation cartésienne de $\mathscr D$.
Équations de cercles
Équations de cercles
Définition
Équation de cercle :
Soit $\mathscr C$ un cercle de centre $\Omega\big(x_\Omega ; \ y_\Omega\big)$ et de rayon $R$
Une équation cartésienne du cercle $\mathscr C$ est : $\big(x-x_\Omega\big)^2+\big(y-y_\Omega\big)^2=R^2$
Astuce
Le caractère grec Ω se lit oméga.
Il est possible de déterminer une équation d’un cercle de diamètre $[AB]$ grâce au produit scalaire.
Propriété
Soit $A$ et $B$ deux points distincts.
L’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\times\overrightarrow{MB}=0$ est le cercle de diamètre $[AB]$.
Exemple
Soit le cercle $\mathscr C$ de diamètre $[AB]$ avec $A(1\ ;\ 1)\text{ et }B(5\ ; -2)$.
Pour trouver une équation cartésienne de ce cercle, tu peux utiliser la propriété précédente :
$M(x\ ; \ y)$ appartient au cercle $\mathscr C$ si, et seulement si, $\overrightarrow{MA}\times\overrightarrow{MB}=0$.
- Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{MA}$ sont : $\overrightarrow{MA} \begin{pmatrix} x_A-x_M\\y_A-y_M \end{pmatrix} =\overrightarrow{MA} \begin{pmatrix}1-x \\ 1-y \end{pmatrix}$.
- Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{MB}$ sont : $\overrightarrow{MB} \begin{pmatrix} x_B-x_M \\ y_B-y_M \end{pmatrix} =\overrightarrow{MB} \begin{pmatrix}5-x \\ -2-y \end{pmatrix}$.
$\begin{aligned} &\overrightarrow{MA} \times \overrightarrow{MB}=0\\&\Leftrightarrow(1-x)×(5-x)+(1-y)×(-2-y)=0 \\ &\Leftrightarrow 5-x-5x+x^2-2-y+2y+y^2=0 \\ &\Leftrightarrow x^2-6x+y^2+y+3=0\\ &\Leftrightarrow x-3)^2-9+(y+\dfrac12)^2-\dfrac14+3=0 \\ &\Leftrightarrow(x-3)^2+(y+\dfrac12)^2=\dfrac{25}4 \end{aligned}$