Fiche de révision : Produit scalaire

Définition : norme d’un vecteur

Soit $\overrightarrow{u}$ un vecteur du plan et soient $A$ et $B$ deux points tels que  $\overrightarrow{u}$= $\overrightarrow{AB}$.

On appelle norme du vecteur $\overrightarrow{u}$ le réel positif ou nul, noté $|\vec u|$, défini par $|\vec u|=AB$.

Les différentes expressions du produit scalaire

Propriété : produit scalaire

Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de $\overrightarrow{u}$ par $\overrightarrow{v}$, le nombre réel noté $\overrightarrow{u}$.$\overrightarrow{v}$ égal à :

• 0 si l’un des deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ ou $\overrightarrow{v}$ est nul.
• $|\vec u|\times|\vec v|\times cos \big(\vec u,\vec v\big)$ si $\vec u≠\vec 0$ et $\vec v≠\vec 0$

Propriété : produit scalaire de deux vecteurs colinéaires

$\overrightarrow{u}$.$\overrightarrow{v}$=$\overrightarrow{AB}$.$\overrightarrow{AC}$

• $=AB \times AH$ si $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AH}$ sont de même sens.
• $=-AB \times AH$ si $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AH}$ sont de sens contraire.

où $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$.

Propriété : carré scalaire

Soit un vecteur $\overrightarrow{u}$. Le carré scalaire de $\overrightarrow{u}$, noté $\overrightarrow{u^2}$, est le nombre réel défini par

$\overrightarrow{u^2}$=$\overrightarrow{u}$.$\overrightarrow{u}$

On a $u^2=|\vec u ^2|$

Propriété : lien entre produit scalaire et orthogonalité

Deux vecteurs sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est nul.

Propriété: Produit scalaire dans un repère orthonormé

 $\vec u\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. $\vec v\begin{pmatrix} x' \\ y '\end{pmatrix}=xx'+yy'$

Propriété : Expression avec les normes

$\begin{aligned}\vec u \times \vec v&=\dfrac12\big[|u|^2+|v|^2-|u-v|^2\big] \\ &=\dfrac12\big[|u+v\parallel^2-|u|^2-|v|^2\big]\end{aligned}$

Propriétés de calcul du produit scalaire

Quels que soient les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$, on a :

$\vec u \cdot \vec v=\vec v \cdot \vec u$

$\vec u \cdot \big(\vec v+\vec w\big)=\vec u \cdot \vec v+\vec u \cdot \vec w$

$\vec u \cdot \big(k\vec v\big)=\big(k\vec u\big) \cdot \vec v=k\ \vec u \cdot \vec v$

$\big(\vec u+\vec v\big)^2=\vec u^2+2\ \vec u \cdot \vec v+\vec v^2$

$\big(\vec u-\vec v\big)^2=\vec u^2-2\ \vec u \cdot \vec v+\vec v^2$

$\big(\vec u+\vec v\big)\big(\vec u-\vec v\big)=\vec u^2-\vec v^2$

Applications du produit scalaire

• Le théorème de la médiane :

Soient $A,B$ et $M$ trois points du plan et $I$ le milieu de $[AB]$. On a alors :

On a alors $MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac12AB^2$

• Le théorème d’Al-Kashi :

Soit ABC un triangle.

En posant $a=BC,\ b=AC\text{ et }c=AB$ on a :

$a^2=b^2+c^2-2bc \cos \widehat A$

$b^2=a^2+c^2-2ac \cos\widehat B$

$c^2=a^2+b^2-2ab \cos\widehat C$

• Les équations de droites :

Soit $\overrightarrow{n}$ un vecteur non nul et $D$ une droite.

On dit que $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à $D$ si $\overrightarrow{n}$ est orthogonal à un vecteur directeur de $D$.

Soit un vecteur non nul $\vec n\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ et soit $D$ une droite. $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à $D$ si et seulement si $D$ admet une équation cartésienne de la forme $ax+by+c=0$.

• Les équations de cercles :

Soit $\mathscr C$ un cercle de centre $\Omega\big(x_\Omega ; \ y_\Omega\big)$ et de rayon $R$

Une équation cartésienne du cercle $\mathscr C$ est : $\big(x-x_\Omega\big)^2+\big(y-y_\Omega\big)^2=R^2$

Soient $A$ et $B$ deux points distincts. L’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}= 0$ est le cercle de diamètre [AB].