Cours : Pyramide et cône de révolution

Solides droits (rappels)

Les prismes droits et les cylindres de révolution sont des solides droits : on peut considérer que, pour les obtenir, on prend une base, que l’on « fait monter tout droit » sur une certaine hauteur.
Redonnons-en les définitions précises et les propriétés importantes.

Définition

Prisme droit :

Un prisme droit est un solide dont :

• deux des faces, appelées bases, sont des polygones superposables et parallèles ;
• les autres faces, dites latérales, sont des rectangles.

Propriété

Les arêtes qui relient les deux bases d’un prisme droit sont parallèles et de même longueur.

• Leur longueur donne la hauteur $h$ du prisme droit.

Définition

Cylindre de révolution :

Un cylindre de révolution est un solide obtenu par la rotation d’un rectangle autour de l’un de ses côtés.

Propriété

• Les bases d’un cylindre de révolution sont deux disques de même rayon $r$ et parallèles.
• La longueur du segment dont les extrémités sont les centres de ces deux disques donne la hauteur $h$ du cylindre.
• « Déroulée », la surface latérale d’un cylindre est un rectangle.
• La longueur et la largeur de ce rectangle sont données par la hauteur du cylindre et la circonférence d’une base.

Une seule formule permet de calculer le volume de ces solides droits.

Propriété

On considère un prisme de droit ou un cylindre.
Le volume $\mathcal V$ est alors donné par la formule :

$$\mathcal V= \text{aire(base)}\times \text{hauteur}$$

• En particulier, pour un cylindre de hauteur $h$ et dont la base est un disque de rayon $r$ :

$$\mathcal V_\text{cyl}=\pi\times r^2\times h$$

• Pour les prismes droits, cela dépend donc du polygone qui forme la base : on calcule l’aire de la base en utilisant les formules pour déterminer l’aire d’un triangle, d’un parallélogramme, d’un rectangle, d’un carré, etc.

Ces rappels sur les solides droits faits, nous allons maintenant étudier les pyramides et les cônes, qu’on peut considérer comme des solides « pointus » : leurs bases sont « surmontées » d’un sommet.

Les pyramides

Définitions et représentation

Définition

Pyramide :

Une pyramide est un solide qui a pour base un polygone et pour faces latérales des triangles qui ont un sommet en commun.

• Le sommet commun des triangles qui constituent les faces latérales est appelé sommet de la pyramide.

Définition

Hauteur d’une pyramide :

Soit $S$ le sommet d’une pyramide. On considère le point $H$ appartenant à la base de la pyramide tel que $[SH]$ est perpendiculaire à cette base.

• $[SH]$, de longueur $h$, est alors la hauteur de la pyramide.

Voici la représentation d’une pyramide qui a pour base un quadrilatère :

Propriété

Une pyramide a autant de faces latérales que le polygone de base a de côtés.

Exemple

Une pyramide qui a pour base un triangle a $3$ faces latérales triangulaires. Elle a donc $4$ faces au total, toutes triangulaires.

• Une telle pyramide à $4$ faces triangulaires est appelée tétraèdre (tétra, en grec, signifie quatre).

Au primaire, les pyramides sont souvent présentées avec une base carrée. Il s’agit d’un cas particulier, qui fait partie des pyramides régulières.

Définition

Pyramide régulière :

Une pyramide est dite régulière :

• si sa base est un polygone régulier (tous ses côtés sont de même longueur et tous ses angles sont de même mesure) ;
• et si ses faces latérales sont des triangles isocèles superposables.

Propriété

Soit une pyramide régulière de sommet $S$ et $O$ le centre du polygone régulier qui constitue la base.

• $[SO]$ est alors la hauteur de la pyramide.

À retenir

On considère une pyramide dont la base est un polygone à $n$ côtés ($n$ est un entier supérieur ou égal à $3$). Son patron est constitué de $n+1$ faces :

• le polygone de base ;
• les $n$ faces latérales triangulaires.

Construisons un patron de la pyramide ci-dessous, qui est un tétraèdre.

Nous considérons que la base est constituée par le triangle $ABC$, celui qui est posé « sur le sol », et que son sommet est le point $S$. Son patron sera constitué de $4$ triangles : celui de la base : $ABC$, et ceux des $3$ faces latérales : $ACS$, $ABS$ et $BCS$.

• Nous commençons par tracer la base, constituée par le triangle $ABC$.

Il s’agit d’un triangle isocèle en $B$ et nous connaissons la mesure des côtés.

• Nous pouvons le construire avec un compas et une règle graduée.
• Représentons ensuite la face constituée par le triangle $ACS$, en nous servant des codages géométriques de la pyramide.

Pour cela :

• nous marquons le milieu du segment $[AC]$ ;
• nous traçons, à partir de ce point, une demi-droite perpendiculaire à $[AC]$, vers l’« extérieur » du triangle $ABC$ ;
• nous mesurons $6\ \text{cm}$ sur cette demi-droite, à partir du milieu de $[AC]$, pour placer le point $S$.
• Nous pouvons maintenant tracer le triangle $ACS$.
• Continuons avec les faces constituées par les triangles $ABS$ et $BCS$.

Tout d’abord, nous remarquons que le triangle $ACS$ est isocèle en $S$, avec donc $AS=CS$. Nous utilisons un compas pour obtenir cette longueur, que nous reportons à partir des points $A$ et $C$, en traçant des arcs de cercle qui nous permettront de construire les triangles $ABS$ et $BCS$.

Ensuite, nous connaissons la longueur $BS$, égale à $7,55\ \text{cm}$.
Nous la reportons à partir de $B$ et traçons des arcs de cercle qui croisent ceux que nous venons de marquer.

• Nous pouvons maintenant tracer les triangles $ABS$ et $BCS$ et ainsi obtenir le patron de la pyramide :

Astuce

Sur ce patron dessiné dans le plan, nous avons tracé plusieurs points $S$. C’est normal, car l’objectif d’un patron est d’obtenir, après pliage, le solide : une fois que nous l’aurons plié, les trois points $S$ du plan se rejoindront bien, dans l’espace, en un point unique, le sommet de la pyramide.

Volume d’une pyramide

Propriété

Le volume $\mathcal V_\text{prisme}$ d’une pyramide est égal au produit de l’aire de sa base par sa hauteur, divisé par $3$ :

$$\mathcal V_\text{prisme}= \dfrac{\text{aire(base)}\times \text{hauteur}}3$$

Astuce

Le volume d’une pyramide est égal au tiers du volume du prisme droit qui a une base identique et une hauteur égale à celles de la pyramide.

Exemple

On considère un parallélépipède rectangle $\textcolor{#66CCFF}{ABCDEFGH}$ :

• sa base est le rectangle $ABCD$, de longueur $6\ \text{cm}$ et de largeur $4\ \text{cm}$ ;
• sa hauteur vaut $5\ \text{cm}$.

À partir de ce pavé droit, on construit le tétraèdre $\textcolor{#FF00FF}{BCDG}$.

Pavé droit ABCDEFGH et pyramide BCDG

• Comme base de $\textcolor{#FF00FF}{BCDG}$, on choisit le triangle $BCD$.
  Calculons son aire $\mathcal A_\text{b}$.

Comme $ABCD$ est un rectangle :

• $CD=AB=6\ \text{cm}$ et $BC=4\ \text{cm}$ ;
• $BCD$ est un triangle rectangle en $C$.
• Nous en déduisons son aire (égale à la moitié de l’aire du rectangle $ABCD$) :

$$\begin{aligned} \mathcal A_\text{b}&=\dfrac {BC\times CD}2 \\ &=\dfrac{6\times 4}2 \\ &=\boxed{12} \end{aligned}$$

• Déterminons maintenant la hauteur associée à la base $BCD$ du tétraèdre.

Nous avons choisi $BCD$ comme base du tétraèdre $\textcolor{#FF00FF}{BCDG}$. $G$ en est donc le sommet.
Comme $\textcolor{#66CCFF}{ABCDEFGH}$ est un pavé droit, $[CG]$ est perpendiculaire à $[BC]$ et $[CD]$.
$CG=5\ \text{cm}$ est ainsi la hauteur du tétraèdre.

• La hauteur $h$ du tétraèdre vaut donc :

$$\boxed{h=5\ \text{cm}}$$

• Nous pouvons maintenant calculer le volume $\mathcal V_\text{tétra}$ du tétraèdre $\textcolor{#FF00FF}{BCDG}$ :

$$\begin{aligned} \mathcal V_\text{tétra}&=\dfrac {\mathcal A_\text{b}\times h}3 \\ &=\dfrac{12\times 5}3 \\ &=\boxed{20} \end{aligned}$$

• Le volume du tétraèdre $\textcolor{#FF00FF}{BCDG}$ vaut $20\ \text{cm}^3$.

Astuce

Vous aurez sans doute des exercices avec des pyramides qui sont construites à partir de pavés droits ou de cubes. Il vous faudra alors vous servir de toutes les propriétés que vous connaissez sur ces solides : angles droits, côtés de longueur égale, etc. Parfois, même, vous aurez à vous servir du théorème de Pythagore pour déterminer certaines longueurs.

Les cônes de révolution

Définition et représentation

Nous avons vu qu’un cylindre de révolution est généré par la rotation d’un rectangle autour d’un de ses côtés.
Nous comprenons donc qu’un cône de révolution est aussi généré par la rotation d’un polygone.

Définition

Cône de révolution :

Un cône de révolution est un solide obtenu par la rotation d’un triangle rectangle autour de l’un des côtés adjacents à l’angle droit.

Définition

Vocabulaire du cône de révolution :

On considère un triangle $AOS$ rectangle en $O$, qui génère un cône par rotation autour de $[OS]$.

• La base du cône est un disque de centre $O$ et de rayon $[OA]$.
• $S$ est le sommet du cône.
• $[OS]$ est la hauteur du cône.
• $[AS]$ est appelé génératrice du cône.
• De manière générale, un segment qui a pour extrémités le sommet $S$ du cône et un point du cercle de la base est une génératrice.

Nous allons maintenant voir comment tracer le patron d’un cône.

À retenir

Le patron d’un cône de sommet $S$, dont la base a pour centre $O$ et rayon $r$, et dont la longueur de la génératrice est $g$, est constitué :

• d’un disque de centre $O$ et de rayon $r$, qui représente sa base ;
• d’une portion de disque de rayon $g$, qui représente sa surface latérale.
• Les deux figures se touchent en un point.

Si on « déplie » le cône, on se rend compte que l’arc de cercle de la surface latérale coïncide avec le contour de la base.

Nous avons ainsi la propriété suivante.

Propriété

Dans le patron d’un cône, le périmètre du cercle de la base est égal à la longueur de l’arc sur la portion de disque représentant la surface latérale.

Pour bien comprendre comment construire le patron d’un cône, nous allons maintenant donner une méthode à travers un exemple.

Nous considérons le cône ci-dessous :

• la base est un disque de centre $O$ et de rayon $3\ \text{cm}$ ;
• il est de sommet $S$ ;
• la longueur de la génératrice est égale à $5\ \text{cm}$.

• Commençons par tracer à main levée, sans souci d’échelle, le patron, pour mieux nous le représenter.

• Nous pouvons calculer la longueur de l’arc $\overgroup{AA^{\prime}}$, car, d’après la propriété que nous avons donnée, elle égale à la circonférence de la base, soit :

$$2\pi\times 3=6\pi$$

Astuce

Nous gardons ici la valeur exacte, sans prendre de valeur approchée pour $\pi$.

• Cela nous sera utile, comme nous allons le voir.

• Pour tracer cet arc de cercle avec la longueur voulue, nous cherchons à déterminer la mesure $\textcolor{#FF0000}x$ de l’angle au centre qui définit l’arc de cercle :

Nous utilisons alors cette propriété.

Propriété

Dans un cercle, la longueur d’un arc est proportionnelle à la mesure de l’angle au centre qui le définit.

Or :

• la circonférence du cercle de rayon $5\ \text{cm}$, égale à $2\pi\times 5=10\pi$ (nous gardons aussi la valeur exacte), est défini par un angle de $360\degree$ ;
• et nous avons calculé la longueur de l’arc : $6\pi$.
• Nous utilisons alors le tableau de proportionnalité suivant, pour déterminer la valeur de $x$ :

Nous déterminons $x$ en utilisant l’égalité des produits en croix :

$$10\pi\times x=360\times 6\pi$$

Nous obtenons ainsi :

$$\begin{aligned} x&=\dfrac {360\times 6\pi}{10\pi} \\ &=\dfrac {36\times 6\pi}{\pi} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [en simplifiant par $10$]}}} \\ &=\dfrac {216\pi}{\pi} \end{aligned}$$

• Avoir gardé les valeurs exactes pour le périmètre des deux cercles nous permet ici de simplifier par $\pi$ et donc de n’avoir fait aucune approximation pour trouver :

$$x=216\degree$$

Astuce

De manière générale, vous pouvez vous souvenir de la formule suivante, pour vérifier que vous ne vous êtes pas trompé.
Si le cône est constitué d’une base de rayon $r$ et si la longueur de sa génératrice est $g$, alors la mesure de l’angle au centre recherché est égale à :

$$\dfrac {360r}g$$

• Nous obtenons bien le même résultat dans notre cas :

$$\dfrac {360\times 3}{5}=216$$

Nous avons maintenant toutes les informations nécessaires pour tracer le patron du cône en vraie grandeur.

• Nous commençons par tracer le cercle pour la surface latérale, de centre $S$ et de rayon $5\ \text{cm}$.
• Nous traçons un rayon de ce cercle, celui que l’on veut (en prévoyant la place pour la suite).
• À partir de ce rayon, nous mesurons un angle de $216\degree$ et traçons un deuxième rayon.

• Nous pouvons maintenant marquer l’arc de la surface latérale pour obtenir la portion de disque (et, si besoin, effacer le reste du cercle).

• Nous traçons une demi-droite à partir de $S$, qui coupe l’arc tracé en un point.
• À partir de ce point, nous mesurons $3\ \text{cm}$, le rayon du disque de base, pour placer son centre $O$.

• Nous pouvons enfin tracer le disque de la base, de centre $O$ et de rayon $3\ \text{cm}$, qui touche donc la portion de disque au point marqué.
• Nous obtenons le patron final du cône, où nous pouvons, si nous voulons, effacer la demi-droite qui a servi à placer $O$.

Volume d’un cône de cône de révolution

Propriété

Le volume $\mathcal V_\text{cône}$ d’un cône de révolution est égal au produit de l’aire de sa base par sa hauteur, divisé par $3$ :

$$\mathcal V_\text{cône}= \dfrac{\text{aire(base)}\times \text{hauteur}}3$$

La base d’un cône de révolution est un disque, dont nous savons calculer l’aire.

Propriété

On considère un cône de révolution de hauteur $h$ et dont la base a pour rayon $r$.
Le volume du cône vaut alors :

$$\mathcal V_\text{cône}=\dfrac{\pi\times r^2\times h}3$$

Astuce

Le volume d’un cône de révolution est égal au tiers du volume du cylindre de révolution qui a une base identique et une hauteur égale à celles du cône.

Exemple

Le contenant d’un verre à pied est modélisé par un cône, que l’on représente ici de manière simplifiée et sans souci d’échelle :

Cône renversé formant un verre

Il s’agit d’un cône « renversé » :

• de hauteur $\textcolor{#FF0000}{h=5,6\ \text{cm}}$,
• dont la base est un disque de rayon $\textcolor{#FF7F00}{r=6\ \text{cm}}$.

Nous cherchons à déterminer la contenance maximale du verre (c’est-à-dire lorsqu’il est rempli à ras bord).
Nous prendrons $\pi\approx 3,14$ et exprimerons le résultat en centilitre, que nous arrondirons au millilitre près.

Nous utilisons la formule que nous avons donnée pour déterminer le volume $\mathcal V_\text{verre}$ en $\text{cm}^3$ :

$$\begin{aligned} \mathcal V_\text{verre}&=\dfrac{\pi\times \textcolor{#FF7F00}r^2\times \textcolor{#FF0000}h}3 \\ &\approx\dfrac{3,14\times \textcolor{#FF7F00}{6}^2\times \textcolor{#FF0000}{5,6}}3 \\ &\approx 3,14\times 12\times 5,6 \\ &\approx 211,008 \end{aligned}$$

Comme $1\ \text{cm}^3=1\ \text{mL}$ et que nous arrondissons au millilitre près, nous obtenons :

$$\begin{aligned} \mathcal V_\text{verre}&\approx 211,008\ \text{cm}^3 \\ &\approx 211\ \text{mL} \\ &\approx 21,1\ \text{cL} \end{aligned}$$

• La contenance maximale de ce verre est d’environ $21,1\ \text{cL}$.