Prisme droit et cylindre de révolution
Prérequis :
- cours de 6e sur le calcul de volume ;
- cours sur le calcul d’aire ;
- cours sur la représentation d’un solide [perspective cavalière et patron].
Introduction :
Dans la vie de tous les jours, nous rencontrons des objets que l’on représente en mathématiques par des solides géométriques. Durant les classes précédentes, nous en avons découvert quelques-uns : prismes droits, cylindres, pyramides, cônes et boules.
Parmi les prismes droits, nous avons plus particulièrement étudié les pavés droits. Nous avons appris à les représenter en perspective cavalière et à en fabriquer des patrons.
Nous allons cette année définir plus précisément les prismes droits et les cylindres dits de révolution. Nous en donnerons des propriétés et montrerons comment réaliser leurs patrons, avant de donner les formules pour calculer leurs volumes.
Les prismes droits
Les prismes droits
Définition et représentation
Définition et représentation
Définition
Prisme droit :
Un prisme droit est un solide dont :
- deux des faces, appelées bases, sont des polygones superposables et parallèles ;
- les autres faces, dites latérales, sont des rectangles.
Propriété
Les arêtes qui relient les deux bases sont parallèles et de même longueur.
- Leur longueur donne la hauteur du prisme droit.
Bases, faces latérales et hauteur d’un prisme droit
À retenir
Le patron d’un prisme droit est composé de deux bases polygonales identiques et d’autant de rectangles que le polygone de base a de côtés.
Exemple
Construisons un patron du prisme droit ci-dessous, dont les deux bases sont des quadrilatères.
- Il y a donc $4$ faces rectangulaires, pour $6$ faces au total.
Représentation du prisme droit, avec longueur des arêtes
Le plus simple ici est de « poser » le prisme sur le rectangle de $6 \times 3\text{ cm}$ et de faire « tomber » les autres faces tout autour.
Cela donne le patron suivant :
Patron du prisme droit
Astuce
Le parallélépipède rectangle (ou pavé droit) est un prisme droit dont les bases sont des rectangles : toutes ses faces sont des rectangles.
Le cube, qui est un pavé droit particulier, est un prisme droit dont toutes les faces sont des carrés.
Pavé droit
Cube
Volume d’un prisme droit
Volume d’un prisme droit
Propriété
Le volume $\mathcal V_\text{prisme}$ d’un prisme droit est égal au produit de l’aire de sa base par sa hauteur :
$$\mathcal V_\text{prisme}= \text{aire(base)}\times \text{hauteur}$$
Ainsi, si nous connaissons (ou pouvons déterminer) sa hauteur, il suffit que nous sachions calculer l’aire de sa base.
- Nous savons le faire pour plusieurs polygones.
Propriété
On considère des prismes droits tous de hauteur $\red{h_\text{prisme}}$.
- Prisme droit à base triangulaire
La base du prisme droit est un triangle de base $\textcolor{#FF00FF}{b_\text{tri}}$ et de hauteur $\textcolor{#0000FF}{h_\text{tri}}$ :
Base triangulaire d’un prisme droit
- Le volume du prisme vaut alors :
$$\mathcal V_\text{prisme}=\dfrac{\textcolor{#FF00FF}{b_\text{tri}}\times \textcolor{#0000FF}{h_\text{tri}}}2 \times \red{h_\text{prisme}}$$
- Prisme droit dont la base est un parallélogramme
La base du prisme droit est un parallélogramme de base $\textcolor{#FF00FF}{b_\text{par}}$ et de hauteur $\textcolor{#0000FF}{h_\text{par}}$ :
Parallélogramme de base d’un prisme droit
- Le volume du prisme vaut alors :
$$\mathcal V_\text{prisme}=\textcolor{#FF00FF}{b_\text{par}}\times \textcolor{#0000FF}{h_\text{par}} \times \red{h_\text{prisme}}$$
- Prisme à base rectangulaire
La base du prisme droit est un rectangle de largeur $\textcolor{#FF00FF}{l}$ et de longueur $\textcolor{#0000FF}{L}$ :
Base rectangulaire d’un prisme droit
- Le volume du prisme vaut alors :
$$\mathcal V_\text{prisme}=\textcolor{#FF00FF}{l}\times \textcolor{#0000FF}{L} \times \red{h_\text{prisme}}$$
Le prisme à base rectangulaire est tout simplement un parallélépipède rectangle (ou pavé droit).
- Nous retrouvons bien la formule que nous avons apprise en 6e.
Attention
Pour les prismes droits dont la base est un triangle ou un parallélogramme, il faudra veiller à ne pas confondre la hauteur du solide et la hauteur du triangle ou du parallélogramme qui constitue la base.
Exemple
On considère un pavé droit de hauteur $h_\text{prisme}=13\ \text{cm}$ et dont la base est un triangle :
- de base $b_\text{tri}=4\ \text{cm}$ ;
- de hauteur $h_\text{tri}=5\ \text{cm}$.
On le représente en perspective cavalière, avec les bases du prisme comme faces « avant » et « arrière », représentées en vraie grandeur :
Représentation du prisme droit à base triangulaire
- Le volume de ce prisme droit vaut :
$$\begin{aligned} \mathcal V_\text{prisme}&=\dfrac{b_\text{tri}\times h_\text{tri}}2\times h_\text{prisme} \\ &=\dfrac{4\times 5}2\times 13 \\ &=10\times 13 \\ &=130\ \text{cm}^3 \end{aligned}$$
Le cas particulier du cube
Le cas particulier du cube
Nous savons qu’un cube est un prisme droit dont les six faces sont des carrés.
- Ses douze arêtes ont toutes la même longueur, que nous notons généralement $a$.
Représentation d’un cube
Nous pouvons utiliser la formule pour calculer le volume de ce prisme droit, qui est égal au produit :
- de l’aire d’une base carrée de côté $a$, égale à $a\times a=a^2$,
- par sa hauteur, égale à $a$.
Propriété
Soit un cube dont la longueur des arêtes est $a$.
Son volume $\mathcal V_\text{cube}$ est égal à :
$$\begin{aligned} \mathcal V_\text{cube}&=a^2\times a \\ &=a^3 \end{aligned}$$
- Là aussi, nous retrouvons bien la formule apprise en 6e.
Il y a bien sûr dépendance entre les deux grandeurs : le volume d’un cube dépend de la longueur de ses arêtes.
- La formule que nous avons donnée permet d’exprimer ce volume en fonction de la longueur $a$ de ses arêtes.
Comme nous l’avons vu dans le cours sur le langage littéral, nous pouvons utiliser l’expression littérale de la formule, en remplaçant la lettre $a$ par différentes valeurs pour obtenir les volumes correspondants.
- On fait ainsi varier $a$, qui est alors appelée variable.
On peut utiliser un tableau pour donner le volume du cube pour quelques valeurs de $a$ (qu’on exprime, par exemple, en centimètre).
- Ce tableau est appelé tableau de valeurs.
| $a$ (en $\text{cm}$) | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
| $\mathcal V_\text{cube}$ (en $\text{cm}^3$) | $1$ | $8$ | $27$ | $64$ | $125$ | $216$ |
Un tel tableau se lit dans les deux sens :
- il sert bien sûr à trouver rapidement le volume d’un cube dont la longueur des arêtes est connue ;
- mais il peut aussi servir à retrouver, à partir d’un cube de volume connu, la longueur de ses arêtes.
- Par exemple, si un cube a pour volume $216\ \text{cm}^3$, on peut dire en regardant le tableau que ses arêtes mesurent $6\ \text{cm}$.
Les cylindres de révolution
Les cylindres de révolution
Définition et représentation
Définition et représentation
Le cylindre que nous connaissons est plus précisément appelé cylindre de révolution.
- « Révolution » signifie ici rotation autour d’un axe.
Définition
Cylindre de révolution :
Un cylindre de révolution est un solide obtenu par la rotation d’un rectangle autour de l’un de ses côtés.
Cylindre de révolution formé par la rotation d’un rectangle autour d’un de ses côtés
Propriété
- Les bases d’un cylindre de révolution sont deux disques de même rayon et parallèles.
- La longueur du segment dont les extrémités sont les centres de ces deux disques donne la hauteur du cylindre.
- « Déroulée », la surface latérale d’un cylindre est un rectangle.
- La longueur et la largeur de ce rectangle sont données par la hauteur du cylindre et la circonférence d’une base.
Rectangle générateur, bases, rayon et hauteur d’un cylindre droit
À retenir
On considère un cylindre de hauteur $h$ et dont les bases sont des disques de rayon $r$.
Son patron est constitué :
- d’un rectangle (la surface latérale), dont les dimensions sont égales à :
- la hauteur $h$ du cylindre,
- la circonférence du disque de rayon $r$, soit : $2\pi r$ ;
- de deux disques (les bases) de rayon $r$ :
- de part et d’autre du rectangle,
- qui le touchent en un point unique.
Exemple
Construisons un patron du cylindre de révolution ci-dessous.
Représentation du cylindre
- Commençons par représenter la surface latérale du cylindre.
Ses dimensions sont données par :
- la hauteur du cylindre, soit : $OO^{\prime}=5\ \text{cm}$ ;
- la circonférence, identique, de chaque base, constituée d’un disque de rayon $2\ \text{cm}$ :
$$\begin{aligned} 2\pi \times 2&\approx 2\times 3,14\times 2 \\ &\approx 12,56\ \text{cm} \end{aligned}$$
Comme il s’agit de dessiner le patron, nous arrondissons cette dernière longueur au millimètre près, elle est ainsi environ égale à $12,6\ \text{cm}$.
- La surface latérale est un rectangle de longueur $12,6\ \text{cm}$ environ et de largeur $5\ \text{cm}$.
Patron du cylindre, étape 1 : tracé de la surface latérale
- Représentons ensuite, par exemple, la base inférieure (celle « sur le sol ») du cylindre.
Pour cela :
- nous marquons un point sur le côté inférieur de la surface latérale (celui qui nous plaît, pas trop proche du bord) ;
- puis nous traçons, à partir de ce point, une demi-droite perpendiculaire au côté du rectangle, vers le bas ;
- enfin, nous mesurons $2\ \text{cm}$ sur cette demi-droite, à partir du point, pour placer le centre $O$.
- Nous pouvons maintenant tracer le cercle de centre $O$, pour obtenir le disque qui touche le cylindre au point que nous avons marqué.
Patron du cylindre, étape 2 : tracé de la base inférieure
- Pour la base supérieure (celle « au plafond »), nous opérons de même, en partant du côté supérieur de la face latérale.
Patron du cylindre, étape 3 : tracé base supérieure
- On peut effacer les éléments de construction, et le patron est terminé :
Patron du cylindre
Astuce
Vous connaissez maintenant l’allure d’un patron de cylindre. Dans un exercice, n’hésitez pas, sur un brouillon, à le tracer à main levée et sans souci d’échelle, et à y reporter les longueurs données dans l’énoncé (en général, hauteur et rayon).
- Cela vous permettra de savoir comment calculer la dimension de la surface latérale correspondant au périmètre du disque de base. Vous pourrez, tous calculs faits, tracer au propre le patron, avec les bonnes mesures.
Volume d’un cylindre de révolution
Volume d’un cylindre de révolution
Propriété
Le volume $\mathcal V_\text{cyl}$ d’un cylindre de révolution est égal au produit de l’aire de sa base par sa hauteur :
$$\mathcal V_\text{cyl}= \text{aire(base)}\times \text{hauteur}$$
La base d’un cylindre de révolution est un disque, dont nous savons calculer l’aire.
Propriété
On considère un cylindre de révolution de hauteur $h$ et dont les bases ont pour rayon $r$.
Le volume du cylindre vaut alors :
$$\mathcal V_\text{cyl}=\pi\times r^2\times h$$
Exemple
Calculons le volume du cylindre de l’exemple précédent :
Img-13 Représentation du cylindre
Il est de hauteur $h=5\ \text{cm}$ et ses bases ont pour rayon $2\ \text{cm}$.
- Son volume vaut donc :
$$\begin{aligned} \mathcal V_\text{cyl}&=\pi \times r^2\times h \\ &\approx 3,14\times 2^2\times 5 \\ &\approx 62,8\ \text{cm}^3 \end{aligned}$$
Récapitulatif
Récapitulatif
Le prisme droit et le cylindre de révolution sont des solides droits.
Pour les obtenir, on peut considérer qu’on fait « monter tout droit » la base (polygone pour le prisme, disque pour le cylindre) sur une certaine hauteur.
À retenir
Comme on sait calculer l’aire de différents polygones et de cercles, la seule formule de ce cours à retenir, pour calculer le volume d’un prisme droit ou d’un cylindre de révolution, est :
$$\mathcal V= \text{aire(base)}\times \text{hauteur}$$
Conclusion :
Nous connaissons maintenant mieux les prismes droits et les cylindres de révolution, et nous savons calculer leurs volumes. Nous pouvons également en construire des patrons.
Nous effectuerons en 4e le même travail pour les pyramides et les cônes de révolution.