Visualiser et représenter des solides
Introduction :
Les solides sont des figures géométriques qui possèdent un relief. L’objectif de ce cours est de découvrir les différentes manières de les représenter : que ce soit « à plat », sur une feuille de papier, ou bien dans l’espace.
Pour cela, nous commencerons par faire quelques rappels sur les solides que nous connaissons.
Nous définirons ensuite les deux types de représentations d’un solide utilisées : la perspective cavalière et le patron. Nous les illustrerons avec l’exemple d’un pavé droit.
Les solides
Les solides
Définition
Solide :
Un solide est une portion d’espace délimitée par une surface fermée indéformable.
À retenir
Les solides sont des formes géométriques de dimension 3 : ils ont une épaisseur, un relief…
Ainsi, on pourra chercher à mesurer :
- des longueurs,
- des aires,
- et des volumes.
En comparaison, les lignes sont des formes géométriques de dimension 1 (on ne peut parler que de longueurs) et les surfaces sont des formes géométriques de dimension 2 (on peut parler de longueurs et d’aires).
Nous connaissons différents types de solides, par exemple les pavés droits, qui sont des prismes droits particuliers, ou les pyramides.
- Ces solides sont appelés polyèdres.
Définition
Polyèdre :
Un polyèdre est un solide dont toutes les faces sont des polygones.
Polyèdres usuels
Un polyèdre possède des faces, des arêtes et des sommets.
Faces, arêtes et sommets d’un pavé droit
Bien sûr, tous les solides ne sont pas des polyèdres, comme les cylindres, les cônes et les boules :
Autres solides
Représentation en 2D : la perspective cavalière
Représentation en 2D : la perspective cavalière
Un solide ne peut pas tenir entièrement sur une feuille. La façon de le représenter « à plat », de telle sorte qu’on reconnaisse que c’est un solide et de quel solide il s’agit, s’appelle la perspective cavalière.
Définition
Perspective cavalière :
La perspective cavalière est le procédé de dessin utilisé en mathématiques pour représenter dans le plan (une feuille) un objet de l’espace (un solide).
En perspective cavalière :
- les faces « avant » et « arrières » du solide peuvent être représentées en vraie grandeur ;
- les autres faces (dessus, dessous, latérales…) sont déformées selon les règles suivantes :
- les arêtes fuyantes sont représentées plus petites que dans la réalité (souvent entre $\frac 12$ et $\frac 23$ de la réalité), en suivant un angle généralement compris entre $30\degree$ à $40\degree$ par rapport à l’horizontale ;
- les arêtes parallèles sur le solide restent parallèles sur le dessin ;
- celles parallèles et de même longueur restent de même longueur ;
- les milieux restent au milieu ;
- les points alignés restent alignés ;
- les arêtes cachées sont représentées en pointillés.
Pour le pavé droit :
- nous traçons un rectangle en vraie grandeur (ce sera la face « avant ») ;
- depuis les 4 sommets du rectangle, nous traçons 4 segments parallèles et de même longueur (les 4 arêtes fuyantes) en veillant à tracer l’arête cachée en pointillés ;
- relier les 4 extrémités des segments en veillant à tracer les 2 arêtes cachées en pointillés.
- vérifier que l’on obtient bien un rectangle (la face « arrière ») identique au premier.
Représentation d’un pavé droit en perspective cavalière
Nous pouvons aussi donner les représentations des autres solides que nous connaissons :
- les polyèdres : un cube, un prisme droit quelconque et une pyramide :
Représentations d’un cube, du prisme droit et d’une pyramide en perspective cavalière
- un cylindre et un cône :
Représentations d’un cylindre et d’un cône en perspective cavalière
Représentation en 3D : l’utilisation d’un patron
Représentation en 3D : l’utilisation d’un patron
Définition
Patron d’un solide :
Un patron d’un solide est une figure plane qui permet, après pliage, de fabriquer exactement, sans superposition, ce solide.
Exemple
Reprenons le pavé droit de l’exemple précédent.
Représentation d’un pavé droit en perspective cavalière
Imaginons que nous fassions « tomber » ce solide sur la feuille sur laquelle il est posé de la façon suivante :
- la face avant vers l’avant,
- la face arrière vers l’arrière,
- la face latérale droite à droite,
- la face latérale gauche à gauche,
- la face du dessus reste « accrochée » à la face latérale droite et tombe avec elle, dans son prolongement.
Voici le patron à découper que nous obtenons en vraie grandeur :
Patron d’un pavé droit
Pour visualiser le pliage à effectuer, revenons à une vue en perspective de notre patron :
Pliage du patron du pavé droit : étape 0
Commençons maintenant notre pliage :
Pliage du patron du pavé droit : étape 1
Collons les arêtes :
Pliage du patron du pavé droit : étape 2
Nous obtenons finalement notre pavé droit en 3D :
Pliage du patron du pavé droit : résultat
Attention
À noter qu’il existe plusieurs patrons possibles pour un même solide. Nous aurions pu décider de laisser la face du dessus « accrochée » à la face arrière. Nous aurions alors obtenu le patron suivant :
Autre patron possible
- Dans un prochain cours consacré aux prismes droits et aux cylindres, nous verrons comment construire les patrons de ces deux solides.
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons appris à représenter les solides « à plat », mais aussi en 3D par la construction d’un patron qui nous permet de représenter exactement un solide tel qu’il est dans la réalité, c’est-à-dire en relief.
Cette notion de solides et de représentations est primordiale pour le développement de notre vision de l’espace et pour s’y repérer.