Fiche de révision Représentation géométrique et module d'un nombre complexe

Le plan complexe

Définition : Plan complexe

À tout nombre complexe $z=a+ib$ on associe un point $M$ de coordonnées $(a\ ; b)$ appelé point image de $z$. On dit que $\overrightarrow{OM}$ est le vecteur image de $z$.

$z$ est alors appelé affixe du point $M$.

Propriété :

• Les points d'affixes $z$ et $\overline z$ sont symétriques par rapport à l’axe des imaginaires purs.
• Les points d'affixes $z$ et $-z$ sont symétriques par rapport à l'origine du repère.

Représentation géométrique :

Utilisation des affixes

Le point $A$ a pour coordonnées $(3; 2)$, son affixe est $z=3+2i$.

Le point $B$ a pour coordonnées $(0; -2)$, son affixe est $z=-2i$.

Le point $C$ a pour coordonnées $(-1; 3)$, son affixe est $z=-1+3i$.

Le point $D$ a pour coordonnées $(-3; 0)$, son affixe est $z=-3$.

Propriétés :

• Pour tous points $A$ et $B$ du plan complexe, l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A$.
• Pour tous points $A$ et $B$ du plan complexe, l'affixe du milieu $I$ du segment $[AB]$ est $z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}$.
• Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, leurs affixes sont égales.
• Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs d'affixes respectives $z$ et $z'$, alors l'affixe du vecteur $\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$ est $z+z'$.
• Si $\overrightarrow{u}$ est un vecteur d'affixe $z$, et si $\lambda$ est un réel, alors l’affixe du vecteur $\overrightarrow{\lambda u}$ est $λz$.

Module d’un nombre complexe

Soit $z$ un nombre complexe, de point image $M$.
Le module du complexe $z$ est $|z|=_sqrt{(a^2+b^2 )}$.
Il représente la distance OM.

Propriétés :

Pour tous complexes $z$ et $z'$ non nuls, et pour tout entier naturel $n$ non nul :

• $|-z|=|z|$
• |$\overline z|=|z|$
• $|zz'|=|z||z'|$
• $|z^n |=|z|^n$
• |$\dfrac {z}{z'}|=\dfrac{|z|}{|z'|}$