Second degré
Introduction :
Les fonctions polynômes du second degré sont vues pour la première fois en seconde. La première partie de ce cours permet de revoir la définition d’une fonction polynôme de degré $2$ ainsi que sa forme canonique et ses variations.
La deuxième partie de cette fiche concerne la résolution d’équations et d’inéquations du second degré. La troisième partie enfin porte sur le signe du trinôme et résolution d’une inéquation du second degré
Fonction polynôme du second degré
Fonction polynôme du second degré
Définition
Définition
Définition
Fonction polynôme du second degré :
- Une fonction polynôme de degré $2$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ dont l’expression algébrique peut être mise sous la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a \ne0$.
- Les réels $a,\ b$ et $c$ sont appelés coefficients de la fonction polynôme.
- L’expression $ax^2+bx+c$ est la forme développée de $f(x)$, appelée aussi trinôme du second degré.
Exemple
- La fonction $f(x)=-2x^2+3x +1$ est un polynôme du second degré. Elle est définie sur $\mathbb{R}$. Ses coefficients sont $a=- 2$ ; $b=3 $ et $c=1$
- La fonction $g(x)=(x-1)(2x+3)$ est également un polynôme du second degré mais elle est plus difficile à repérer car elle n’est pas sous sa forme développée.
En utilisant la double distributivité, on transforme :
$\begin{aligned} g(x)&=(x-1)(2x+3) \\ &=2x^2+3x-2x-3 \\ g(x)&=2x^2+x-3 \end{aligned}$
Les coefficients sont donc $a=2$ ; $b=1$ et $c=-3$
Forme canonique
Forme canonique
Propriété
Toute fonction polynôme de degré $2$ (de forme développée $ax^2+bx+c $) admet une écriture de la forme $a(x-\alpha)^2+\beta $ où $\alpha=-\dfrac{b} {2a}$ et $\beta=f (\alpha)$. Cette écriture est la forme canonique de la fonction polynôme.
Exemple
$f(x)=2x^2+4x-3$
$\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{4}{2\times 2}=-\dfrac{4}{4}=-1$
$\begin{aligned}\beta=f (\alpha)&=f(-1)\\&=2\times (-1)^2+4\times (-1)-3\\&=2-4-3\\&=-5\end{aligned}$
$\begin{aligned}f(x)&= 2(x-(- 1))^2 + (-5)\\&= 2(x + 1)^2-5\end{aligned}$
- La forme canonique est donc : $f(x) = 2(x + 1)^2-5$
Variations d’un polynôme du second degré
Variations d’un polynôme du second degré
Soit $f$ une fonction polynôme de degré $2$, définie sur $\mathbb {R}$, par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ :
- Si $a>0$, $f $ est strictement décroissante sur $]-\infty\;\alpha]$ puis strictement croissante sur $[\alpha\;+\infty [$
$f$ admet un minimum $\beta$, atteint en $x=\alpha$.
La courbe représentative de $f$ est une parabole de sommet $S$ de coordonnées $(\alpha\;\beta)$ et avec les branches tournées vers le haut.
- Si $a<0$, $f $ est strictement croissante sur $]-\infty\;\alpha]$ puis strictement décroissante sur $[\alpha\;+\infty [$.
$f $ admet un maximum $\beta $, atteint en $x=\alpha $
La courbe représentative de $f$ est une parabole de sommet $S$ de coordonnées $(\alpha\;\beta)$ et avec les branches tournées vers le bas.
Astuce
Équation du second degré
Équation du second degré
Résolution d’une équation du second degré
Résolution d’une équation du second degré
Définition
Équation du second degré :
- Une équation du second degré, d’inconnue $x$, est une équation qui peut s’écrire sous la forme $ax^2+bx+c=0$ où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels donnés, avec $a\neq 0$.
- Une solution de cette équation est appelée racine du trinôme $ax^2+bx+c$.
Propriété
Pour résoudre une équation du type $ax^2+bx+c=0$, on calcule tout d’abord le discriminant $\Delta$ du trinôme $ax^2+bx+c $.
$\Delta=b^2-4ac$
- Si $\Delta>0$, alors l’équation $ax^2+bx+c=0$ admet deux solutions distinctes :
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}} {2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt {\Delta}}{2a}$ - Si $\Delta=0$, alors l’équation $ax^2+bx+c=0$ admet une unique solution :
$x_0=-\dfrac{b}{2a}$ - Si $\Delta<0$, alors l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’a pas de solution.
Exemple
- Résoudre l’équation $-5x^2-9x+2=0$
$\begin{aligned}\Delta&=b^2-4ac\\&=(-9)^2-4\times(-5)\times2\\&=81+40\\ \Delta&=121 \end {aligned}$
Comme $\Delta $ est strictement positif, l’équation admet deux solutions distinctes :
- $\begin{aligned}x_1=\dfrac{-b-\sqrt{}\Delta}{2a}&=\dfrac{9-\sqrt{121}}{2\times(-5)}\\&=\dfrac{9-11}{-10}\\&=\dfrac{-2}{-10}\\&=\dfrac{1}{5}\end{aligned}$
- $\begin{aligned}x_2=\dfrac{-b+\sqrt{}\Delta}{2a}&=\dfrac{9+\sqrt{121}}{2\times(-5)}\\&=\dfrac{9+11}{-10} \\&=\dfrac{20}{-10}\\&=-2\end{aligned}$
Donc $S= \left\lbrace -2;\dfrac{1}{5} \right\rbrace$
- Résoudre l’équation $\dfrac{1}{3}x^2-2x +3=0$
$\begin{aligned} \Delta&=b^2-4ac \\ &=(-2)^2-4\times\dfrac{1}{3}\times3 \\ &=4-4 \\ \Delta&=0 \end{aligned}$
Comme $\Delta $ est nul, l’équation admet une unique solution :
- $x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{(-2)}{2\times\dfrac{1}{3}}=\dfrac{2}{\dfrac{2}{3}}=2\times\dfrac{3}{2}=3$
Donc $S={3}$.
- Résoudre l’équation $3x^2-x+2=0$
$\begin{aligned} \Delta&=b^2-4ac \\ &=(-1)^2-4\times3\times2 \\ &=1-24 \\ \Delta&=-23 \end{aligned}$
- Comme $\Delta$ est strictement négatif, l’équation n’admet pas de solution.
Donc $S=\varnothing$
Astuce
Le symbole $\varnothing$ se lit « ensemble vide ».
Factorisation du trinôme
Factorisation du trinôme
Propriété
Soit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$, un trinôme du second degré :
- Si le discriminant du trinôme est strictement positif ($\Delta>0$), $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ où $x_1$ et $x_2$ sont les racines du trinôme.
- Si le discriminant du trinôme est strictement nul ($\Delta=0$), $f(x)=a(x-x_0)^2$où $x_0$ est la racine du trinôme.
- Si le discriminant du trinôme est strictement négatif ($\Delta<0$), alors $f(x)$ ne se factorise pas.
Exemple
- Le trinôme $-5x^2-9x+2$ admet pour racines le couple $S=(-2 ; \dfrac{1}{5})$ ; la forme factorisée est donc :
$\begin{aligned}a(x-x_1)(x-x_2)&=-5\Big(x-\big(-2\big)\Big)\Big(x-\dfrac{1}{5}\Big)\\&=-5(x+2)\Big(x-\dfrac{1}{5}\Big)\end{aligned}$
- Le trinôme $\dfrac{1}{3}x^2-2x+3$ avait une unique racine $S={3}$ ; la forme factorisée est donc :
$a(x-x_0)^2=\dfrac{1}{3}(x-3)^2$
- Le trinôme $3x^2-x+2$ n’a aucune racine. Il n’existe donc pas de forme factorisée.
Signe du trinôme et résolution d’une inéquation du second degré
Signe du trinôme et résolution d’une inéquation du second degré
Signe du trinôme
Signe du trinôme
Astuce
Veille à bien ranger les racines dans l’ordre croissant dans la première ligne des tableaux de signes.
Propriété
On considère le trinôme du second degré $ax^2+bx+c$ :
- Dans le cas où $\Delta>0$, le trinôme est du signe de $a$ sur $]-\infty\ ;\ x_1[$ et sur $]x_2\ ;\ +\infty[$ et du signe contraire de $a$ sur $]x_1\ ;\ x_2[$.
- Dans le cas où $\Delta=0$, le trinôme est du signe de $a$ pour tout réel $x\ne x_0$ et le trinôme s’annule pour $x=x_0$.
- Dans le cas où $\Delta<0$, pour tout réel $x$, le trinôme est du signe de $a$.
Exemple
- Étudier le signe de $-5x^2-9x+2$ sur $\mathbb{R}$
Le trinôme $-5x^2-9x+2$ admet pour racines le couple $S=\left\lbrace-2\;\dfrac{1}{5}\right\rbrace$, de plus $a=-5<0$ donc le trinôme est négatif à l’extérieur des racines ; ce qui donne le tableau de signes suivant :
- Étudier le signe de $\dfrac{1}{3}x^2-x+3$ sur $\mathbb{R}$
Le trinôme $\dfrac{1}{3}x^2-x+3$ admet pour racine unique $S={3}$, de plus $a=\dfrac{1}{3}>0$ donc le trinôme est positif pour tout $x\ne 3$ ; ce qui donne le tableau de signes suivant :
- Étudier le signe de $3x^2-x+2$ sur $\mathbb{R}$
Le trinôme $3x^2-x+2$ n’a aucune racine, de plus $a=3>0$ donc le trinôme est positif pour tout réel $x$ ; ce qui donne le tableau de signes suivant :
Résolution d’inéquations du second degré
Résolution d’inéquations du second degré
À retenir
En construisant un tableau de signes il est possible de résoudre n’importe quelle inéquation du second degré.
Exemple
- Résoudre l’inéquation $-5x^2-9x+2\geq0$
Pour résoudre cette inéquation, on utilise le tableau de signes correspondant, on regarde sur quel intervalle le trinôme est positif et on note l’ensemble solution : $S=[-2\;\dfrac{1}{5}]$.
- Résoudre l’inéquation $3x^2-x+2<0$
De même, pour résoudre $3x^2-x+2<0$, on utilmise le tableau de signes correspondant on voit qu’il n’existe aucun intervalle où le trinôme est négatif et on note l’ensemble de solution : $S=\varnothing$.
Conclusion :
