Fiche de révision : Second degré

Fonction polynôme de degré 2

Définition : fonction polynôme de degré 2

• Une fonction polynôme de degré $2$ est une fonction définie sur $R$ dont l’expression algébrique peut être mise sous la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$.
• Les réels $a, b$ et $c$ sont appelés coefficients de la fonction polynôme.
• L’expression $ax^2+bx+c$ est la forme développée de $f(x)$, appelée aussi trinôme du second degré.

Propriété : Forme canonique

La forme canonique de la fonction polynôme de degré $2$ est la suivante :
$a(x-\alpha)^2+\beta$ où $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$

Variations d’un polynôme du second degré

Soit $f$ une fonction polynôme de degré $2$, définie sur R, par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$.

Les variations de $f$ sont données par les tableaux suivants :

• Si $a>0$, $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\ ;\,\alpha]$ puis strictement croissante sur $[\alpha\ ;\,+\infty [$

$f$ admet un minimum $\beta$, atteint en $x=\alpha$.

• Si $a<0$, $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\ ;\,\alpha]$ puis strictement décroissante sur $[\alpha\ ;\,+\infty [$

$f$ admet un maximum $\beta$, atteint en $x=\alpha$.

• Pour trouver le minimum et le maximum d’une fonction on peut appliquer un algorithme sur une calculatrice (Casio ou TI).

Équation du second degré

Définition : Résolution d’une équation du second degré

Une équation du second degré, d’inconnue x, est une équation qui peut s’écrire sous la forme $ax^2+bx+c=0$ où $a, b$ et $c$ sont des nombres réels donnés, avec $a≠0$.
Une solution de cette équation est appelée racine du trinôme $ax^2+bx+c$.

Propriété : signe du trinôme

Pour résoudre une équation du type $ax^2+bx+c$ :

• on calcule tout d’abord le discriminant $\Delta$ du trinôme $ax^2+bx+c$.

$\Delta=b^2-4ac$

• On utilise ensuite la propriété suivante :
• Si $\Delta > 0$, alors l’équation $ax^2+bx+c=0$ admet deux solutions distinctes :

• Si $\Delta=0$, alors l’équation $ax^2+bx+c=0$ admet une unique solution :

• Si $\Delta<0$, alors l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’a pas de solution.

Théorème : factorisation du trinôme

Soit $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq 0$, un trinôme du second degré.

• Si $\Delta>0$ (discriminant du trinôme strictement positif), $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ où $x_1$ et $x_2$ sont les racines du trinôme.
• Si $\Delta=0$ (discriminant nul), $f(x)=a(x-x_0)^2$ où $x_0$ est la racine du trinôme.
• Si $\Delta<0$ (discriminant strictement négatif), alors $f(x)$ ne se factorise pas.

Signe du trinôme et résolution d’une inéquation du second degré

Propriétés : signe du trinôme

On considère le trinôme du second degré $ax^2+bx+c$.

• Dans le cas où $\Delta>0$ :

Le trinôme est du signe de a sur $]-\infty\ ;\,x_1[$ et sur $]x_2\ ;\,+\infty[$ et du signe contraire de a sur $] x_1\ ;\,x_2 [$.

• Dans le cas où $\Delta=0$ :

Le trinôme est du signe de a pour tout réel $x\neq x_0$ et le trinôme s’annule pour $x=x_0$.

• Dans le cas où $\Delta<0$ :

Pour tout réel $x$, le trinôme est du signe de $a$.