Les probabilités : bases et vocabulaire : cours de 4eme

Les probabilités

Introduction :

Connaître, dans un jeu de hasard, les chances de gagner ou, plutôt, le risque de perdre : c’est dans ce but que les probabilités ont, au début, été étudiées – les mathématiciens sont des joueurs, mais des joueurs raisonnables !
Mais aussi estimer l’aire d’une figure très complexe, étudier en physique le comportement de l’infiniment petit, savoir si un médicament est efficace (ou si un test de dépistage est fiable), comprendre comment est fait un sondage (et donc savoir s’il a été réalisé dans des conditions satisfaisantes), etc. Les probabilités sont omniprésentes dans les sciences et indispensables pour comprendre nombre d’informations qui nous sont données au quotidien.

Ce cours approfondira les notions de probabilités que nous avons découvertes en cinquième et nous en apprendra de nouvelles. Nous calculerons aussi des probabilités dans des cas assez simples, qui nous permettront de bien comprendre les bases, indispensables pour la suite.

Notion de probabilité

Vocabulaire

Dans un jeu, on lance un dé cubique, non truqué, à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$, puis on regarde le nombre inscrit sur la face supérieure.

On connaît tous les résultats possibles : un nombre entier compris entre $1$ et $6$.
Mais on ne sait pas à l’avance lequel on va obtenir.
On dit qu’il s’agit d’une expérience aléatoire, et les résultats possibles : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $5$ et $6$, sont appelés issues.

Définition

Expérience aléatoire :

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat qui se produira effectivement.

Ces résultats possibles sont appelés issues.

Astuce

Dans certains cas, il peut être utile d’utiliser un arbre, appelé arbre des possibles, pour bien visualiser toutes les issues d’une expérience aléatoire.
Pour le dé, nous obtenons :

$Arbre des possibles$ Arbre des possibles

Expérience aléatoire et probabilités

Demandons-nous maintenant, par exemple, quelle sont les chances d’obtenir l’issue $5$.
Il y a $\green 1$ face qui porte le numéro $5$ sur les $\purple 6$ faces du dé : intuitivement, on comprend que l’on a $\green 1$ chance sur $\purple 6$ d’obtenir l’issue $5$.

On parle alors de la probabilité d’obtenir $5$, elle s’écrit sous la forme d’une fraction (ou d’un nombre décimal, ou d’un pourcentage) et est égale à :

$$\begin{aligned} \red{\dfrac{\green 1}{\purple 6}}&\approx 0,167 \\ &\approx 16,7\,\% \end{aligned}$$

On peut déterminer de même la probabilité d’obtenir chacune des autres issues : toutes ont une probabilité égale à $\frac 16$ puisque, pour chaque nombre, il y a $1$ seule face sur laquelle il est inscrit sur les $6$.

On modélise ainsi l’expérience aléatoire du lancer de dé, c’est-à-dire qu’on va décrire l’expérience en termes mathématiques, afin de pouvoir l’étudier.

À retenir

Modélisation d’une expérience aléatoire :

Pour modéliser une expérience aléatoire, on associe à toutes les issues une probabilité, avec les conditions suivantes :

la probabilité de chaque issue est un nombre compris entre $0$ et $1$ et s’interprète comme la proportion de chance d’obtenir cette issue ;
plus la probabilité d’une issue est proche de $0$, moins elle a de chance d’être obtenue ;
plus la probabilité d’une issue est proche de $1$, plus elle a de chance d’être obtenue ;
la somme des probabilités de toutes les issues est égale à $1$.

$Échelle de probabilités$ Échelle de probabilités

Astuce

Pour modéliser une expérience aléatoire, et donc associer à chaque issue sa probabilité, on utilise souvent un tableau. Dans le cas de notre dé, cela donne :

Issues	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Probabilités	$\dfrac 16$	$\dfrac 16$	$\dfrac 16$	$\dfrac 16$	$\dfrac 16$	$\dfrac 16$

On a bien, dans le cas du dé :

$$\begin{aligned} &0\leq \dfrac 16\leq 1 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{et\ :\ }} \dfrac 16+ \dfrac 16+ \dfrac 16+ \dfrac 16+ \dfrac 16+ \dfrac 16&=\dfrac{1+1+1+1+1+1}6=\dfrac 66=1 \end{aligned}$$

Pour ce dé non truqué, les probabilités des issues sont égales.

On dit que les issues de cette expérience sont équiprobables.

Définition

Équiprobabilité :

Les issues d’une expérience aléatoire sont dites équiprobables (« équi » : du latin « aequus », qui signifie « égal ») lorsqu’elles ont toutes la même probabilité.

Et, dans cette situation d’équiprobabilité, nous avons une propriété qui permet de déterminer la probabilité de chaque issue (et qui est bien vérifiée par l’exemple du dé).

Propriété

On considère une expérience aléatoire qui a $n$ issues (avec $n$ un nombre entier strictement positif).
Si les issues sont équiprobables, alors chacune a pour probabilité : $\dfrac 1n$.

Donnons un contre-exemple, avec une expérience aléatoire dont les issues ne sont pas équiprobables.

Exemple

Un tricheur invétéré, comptant sur l’inattention de ses adversaires, utilise un dé à $6$ faces truqué : le $1$ est remplacé par un autre $6$.

L’expérience aléatoire a ainsi $5$ issues possibles : $2$ ; $3$ ; $4$ ; $5$ et $6$.
Et, sur les $6$ faces du dé, $2$ faces comportent le $6$. Le tricheur a donc $2$ chances sur $6$ d’obtenir un $6$, soit une probabilité de :

$$\dfrac 26=\dfrac 13$$

L’expérience est modélisée par le tableau suivant :

Issues	$2$	$3$	$4$	$5$	$\red 6$
Probabilités	$\dfrac 16$	$\dfrac 16$	$\dfrac 16$	$\dfrac 16$	$\red{\dfrac 13}$

La probabilité d’obtenir $6$ est deux fois plus grande que celle d’obtenir chacune des autres issues.

Les issues ne sont pas équiprobables.

Événements d’une expérience aléatoire

Nous avons appris dans la partie précédente à modéliser une expérience aléatoire en associant à chacune de ses issues une probabilité. Nous allons pouvoir maintenant voir comment calculer la probabilité d’événements.

Événement : définitions et propriétés

Revenons à notre dé à $6$ faces non truqué.

Issues	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Probabilités	$\dfrac 16$	$\dfrac 16$	$\dfrac 16$	$\dfrac 16$	$\dfrac 16$	$\dfrac 16$

Imaginons que, pour gagner une partie, il faille obtenir $4$ ; $5$ ou $6$. Dans ce cas, on s’intéresse au fait d’obtenir au moins $4$.

« Obtenir au moins $4$ » est appelé événement, il est réalisé par les issues $4$ ; $5$ et $6$.

Définition

Événement :

Dans une expérience aléatoire, un événement est une condition qui peut être réalisée ou non, en fonction de l’issue obtenue.

Astuce

Pour décrire un événement, on utilise souvent une phrase, comme : « Obtenir au moins $4$ » ; il peut aussi être décrit par la liste des issues qui le réalisent : $4$ ; $5$ et $6$.
On note aussi souvent les événements par des lettres.

Pour calculer la probabilité d’un événement, on utilise la propriété suivante.

Propriété

On considère une expérience aléatoire et un événement $E$.
La probabilité de l’événement $E$, notée $p(E)$, est égale à la somme des probabilités des issues qui le réalisent.

Toujours dans l’expérience aléatoire du dé à $6$ faces, notons $A$ l’événement : « Obtenir au moins $4$ ».
$A$ est réalisé par les issues $4$ ; $5$ et $6$, chacune de probabilité $\frac 16$.

La probabilité de $A$ vaut donc la somme des probabilités de ces issues :

$$p(A)= \dfrac 16+\dfrac 16+\dfrac 16=\dfrac 36=\dfrac 12$$

Nous avons aussi vu que les issues de cette expérience aléatoire étaient équiprobables. Nous pouvons alors nous servir d’une autre propriété, valable uniquement dans les cas d’équiprobabilité.

Propriété

On considère une expérience aléatoire et un événement $E$.
Lorsque les issues de l’expérience sont équiprobables, la probabilité de l’événement $E$ est égale au quotient du nombre d’issues qui réalisent $E$, sur le nombre total d’issues :

$$p(E)=\dfrac{\text{nombres d’issues qui réalisent }E}{\text{nombre total d’issues}}$$

Ainsi, l’événement $A$ : « Obtenir au moins $4$ », est réalisé par $3$ issues, sur $6$ issues au total, qui sont équiprobables.

Nous pouvons donc aussi calculer la probabilité de $A$ grâce à cette dernière propriété :

$$\begin{aligned} p(A)&= \dfrac{\text{nombres d’issues qui réalisent }A}{\text{nombre total d’issues}} \\ &=\dfrac 36 \\ &=\dfrac 12 \end{aligned}$$

Voyons sur un autre exemple, où il n’y pas équiprobabilité, comment calculer la probabilité d’un événement.

Exemple

Revient en jeu le tricheur, avec son dé truqué.
On considère aussi l’événement $A$ : « Obtenir au moins $4$ ». Il est réalisé par $3$ issues : $\green 4$ ; $\green 5$ et $\green 6$.

Issues	$2$	$3$	$\green 4$	$\green 5$	$\green 6$
Probabilités	$\dfrac 16$	$\dfrac 16$	$\green{\dfrac 16}$	$\green{\dfrac 16}$	$\green{\dfrac 13}$

Dans cette expérience aléatoire, les $5$ issues ne sont pas équiprobables :

$$\begin{aligned} p(A)&\neq \dfrac{\text{nombres d’issues qui réalisent }A}{\text{nombre total d’issues}} \\ &\neq \dfrac 35 \end{aligned}$$

En revanche, on a :

$$\begin{aligned} p(A)&=\green{\dfrac 16}+\green{\dfrac 16}+\green{\dfrac 13} \\ &=\dfrac 16+\dfrac 16+\dfrac 26 \\ &=\dfrac {1+1+2}6 \\ &=\dfrac 46=\dfrac 23 \end{aligned}$$

Le tricheur a donc $2$ chances sur $3$ d’obtenir, avec son dé pipé, $4$ ou plus.

Dans une expérience aléatoire, il est important de retenir quelques événements particuliers.

À retenir

Un événement $E$ est dit élémentaire s’il n’est réalisé que par $1$ issue de l’expérience aléatoire.
Sa probabilité vaut alors celle de l’issue qui le réalise.
Un événement $I$ est dit impossible si aucune issue de l’expérience aléatoire ne le réalise.
Sa probabilité est alors nulle : $p(I)=0$.
Un événement $C$ est dit certain si toutes les issues de l’expérience aléatoire le réalisent.
Sa probabilité vaut alors $1$ : $p(C)=1$.

Exemple

Continuons de nous servir de l’exemple du dé truqué :

Issues	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Probabilités	$\dfrac 16$	$\dfrac 16$	$\dfrac 16$	$\dfrac 16$	$\dfrac 13$

L’événement $M$ : « Obtenir un multiple de $6$ », est réalisé par une seule issue, $6$, de probabilité $\frac 13$.
$M$ est un événement élémentaire :

$$p(M)=\dfrac 13$$

L’événement $U$ : « Obtenir $1$ », n’est réalisé par aucune issue.
$U$ est un événement impossible :

$$p(U)=0$$

L’événement $S$ : « Obtenir un nombre strictement positif », est réalisé par toutes les issues.
$S$ est un événement certain :

$$p(S)=1$$

Se servir des événements contraires

Définissons maintenant une notion importante, qui sera à l’avenir très utile pour déterminer des probabilités : celle des événements contraires.

Définition

Événement contraire :

Dans une expérience aléatoire, on considère un événement $E$.
L’événement contraire de $E$, noté $\overline E$, est l’événement qui est réalisé par toutes les issues qui ne réalisent pas $E$.

Autrement dit, les événements $E$ et $\overline E$ ne se réalisent jamais ensemble et l’un des deux se réalise quelle que soit l’issue.

Exemple

On lance un dé à $6$ faces non truqué. Soit :

$A$ l’événement : « Obtenir un nombre pair » ;
et $B$ l’événement : « Obtenir un nombre impair ».

On sait que les issues possibles sont $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $5$ et $6$ :

un nombre entier est soit pair, soit impair, il ne peut pas être les deux à la fois ;
$A$ et $B$ ne peuvent se réaliser en même temps ;
un nombre entier est pair ou impair, il ne peut pas être ni l’un ni l’autre ;
si $A$ ne se réalise pas, $B$ est sûr de réaliser ; si $B$ ne se réalise pas, $A$ est sûr de se réaliser.

$A$ et $B$ sont donc des événements contraires.
On peut noter : $A=\overline B$ et $B=\overline A$.

Et voici la propriété très utile des événements contraires.

Propriété

La somme des probabilités d’un événement $E$ et de son contraire $\overline E$ est égale à $1$ :

$$p(E) + p(\overline E) = 1$$

On en déduit :

$$\begin{aligned} p(\overline E)=1-p(E) \\ p(E)=1-p(\overline E) \end{aligned}$$

Exemple

Dans un jeu, on lance un dé cubique à $6$ faces non truqué :

si on fait $1$ ou $2$, on gagne ;
sinon, on perd.
Quelle est la probabilité de gagner ? et celle de perdre ?

On note :

$A$ l’événement : « On gagne » ;
$B$ l’événement : « On perd ».

Il y a $6$ issues équiprobables, dont $2$ qui permettent de gagner.

La probabilité de gagner est donc égale à :

$$p(A)=\dfrac 26=\dfrac 13$$

Il n’y a pas de match nul possible dans ce jeu. Donc, si on ne gagne pas, cela veut dire que l’on perd. Et on ne peut gagner et perdre à la fois. $A$ et $B$ sont ainsi des événements contraires.

La probabilité de perdre est donc égale à :

$$\begin{aligned} p(B)&=p(\overline A) \\ &=1-p(A) \\ &=1-\dfrac 13 \\ &=\dfrac 23 \end{aligned}$$

On aurait bien sûr pu aussi calculer la probabilité de perdre en considérant que $4$ issues sur les $6$ font perdre, et on aurait trouvé le même résultat.
Mais vous serez à l’avenir confronté à des cas où il est plus rapide de calculer une probabilité en passant par celle de l’événement contraire.

Conclusion :

Nous connaissons maintenant les bases du calcul de probabilités. Nous l’avons constaté avec l’exemple d’un lancer de dé, ces connaissances sont assez intuitives. Mais il est très important de bien les comprendre et les maîtriser, car elles seront fondamentales pour les classes suivantes, où vous rencontrerez des problèmes plus complexes, mais que vous saurez résoudre avec des bases solides.

Introduction :