Variation globale et fonction dérivée

information-icon

Le bac de français 2025 arrive à grand pas ! Pas de stress, on a pensé à toi avec la liste des oeuvres ou bien un plan de révision pour les épreuves anticipées de 1ere 💪

Introduction :

Dans le cours précédent, nous avons découvert la notion de tangente et de nombre dérivé. Dans ce nouveau cours, nous allons prolonger cette découverte en traitant les fonctions dérivées.
Après les avoir définies, nous verrons comment appliquer cette notion de dérivation à l’étude des variations d’une fonction.

Fonctions dérivées

Définition

bannière definition

Définition

Fonction dérivée :

On considère une fonction ff définie sur un intervalle II, qui, en tout réel xx de II, admet un nombre dérivé f(x)f^{\prime}(x).
On dit alors que la fonction ff est dérivable sur II, et sa fonction dérivée, notée ff^{\prime}, est la fonction qui associe, à tout réel xx de II, le nombre dérivé f(x)f^{\prime}(x) de ff en xx.

Remarques :

  • Si ff est dérivable sur un intervalle II, alors elle est bien sûr dérivable sur tout intervalle inclus dans II.
  • La fonction ff^{\prime} donne donc, pour tout réel xx de II, le coefficient directeur f(x)f^{\prime}(x) de la tangente à la courbe représentative Cf\mathscr C_f de ff, en son point d’abscisse xx.

Fonctions dérivées des fonctions de référence

bannière propriete

Propriété

[admise]
Le tableau ci-dessous donne les expressions des dérivées des fonctions constantes, identité, carré et cube, toutes dérivables sur R\mathbb R :

Fonction ff Fonction dérivée ff^\prime
Constante : f(x)=kf(x)=k (avec kRk\in\mathbb R) f(x)=0f^\prime(x)=0
Identité : f(x)=xf(x)=x f(x)=1f^\prime(x)=1
Carré : f(x)=x2f(x)=x^2 f(x)=2xf^\prime(x)=2x
Cube : f(x)=x3f(x)=x^3 f(x)=3x2f^\prime(x)=3x^2

Dérivées et opérations

bannière propriete

Propriété

[admise]
Soit uu et vv deux fonctions dérivables sur un intervalle II, et kk un réel.

  • La fonction ff définie sur II par f(x)=u(x)+v(x)f(x)=u(x)+v(x) est aussi dérivable sur II. Pour tout réel xx de II :
    f(x)=u(x)+v(x)f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x)
  • La fonction gg définie sur II par g(x)=k×u(x)g(x)=k\times u(x) est aussi dérivable sur II. Pour tout réel xx de II :
    g(x)=k×u(x)g^{\prime}(x)=k\times u^{\prime}(x)

Remarque :
On peut retenir ces propriétés ainsi :

  • la dérivée d’une somme est égale à la somme des dérivées ;
  • la dérivée du produit d’une fonction par un réel est égale au produit de la dérivée de la fonction par ce même réel.
bannière à retenir

À retenir

Pour calculer la dérivée d’une fonction ff sur un intervalle II :

  • on cherche à reconnaître sous quelle forme f(x)f(x) peut s’écrire : k×u(x)k\times u(x) ou u(x)+v(x)u(x)+v(x), avec uu et vv des fonctions de référence (constante, identité, carré ou cube) ;
  • on utilise ensuite la propriété de la dérivée d’une somme de fonctions dérivables sur II, ou d’un produit d’une fonction dérivable sur II par un réel, pour déterminer l’expression de f(x)f^{\prime}(x).
bannière exemple

Exemple

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb R par f(x)=0,2x2f(x)=0,2x^2.
En posant u(x)=x2u(x)=x^2, on obtient f(x)=0,2×u(x)f(x)=0,2 \times u(x).
Or, uu est la fonction carré, donc u(x)=2xu^{\prime}(x)=2x.

  • Comme produit d’une fonction dérivable (la fonction carré) par un réel (0,20,2), ff est dérivable sur R\mathbb R et, pour tout réel xx :
    f(x)=0,2×u(x)=0,2×2x=0,4x\begin{aligned} f^{\prime}(x)&=0,2\times u^{\prime}(x) \\ &=0,2\times 2x \\ &=0,4x \end{aligned}

On peut maintenant calculer le nombre dérivé de ff en n’importe quel réel. Par exemple :
f(5)=0,4×5=2f^{\prime}(5)=0,4\times 5=2

  • Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de ff en son point d’abscisse 55 vaut donc 22. (Ce qui confirme ce qu’on a trouvé graphiquement dans un exemple du cours précédent.)

Coefficient directeur de la tangente et nombre dérivé Coefficient directeur de la tangente et nombre dérivé

bannière exemple

Exemple

Soit pp la fonction définie sur R\mathbb R par :
p(x)=x3+32x2+6x3p(x)=\blue{-x^3}+\green{\dfrac 32x^2}+\pink{6x}\purple{-3}

La fonction pp est la somme des fonctions suivantes, toutes dérivables sur R\mathbb R :

  • le produit de la fonction cube par 1-1 ;
  • le produit de la fonction carré par 32\frac 32 ;
  • le produit de la fonction identité par 66 ;
  • une fonction constante.

La fonction pp est donc dérivable sur R\mathbb R et, pour tout réel xx :
p(x)=3x2+32×2x+6×1+0=3x2+3x+6\begin{aligned} p^{\prime}(x)&=\blue{-3x^2}+\green{\dfrac 32\times 2x}+\pink{6\times 1} + \purple 0 \\ &=-3 x^2+3x+6 \end{aligned}

Application : étude des variations d’une fonction

bannière rappel

Rappel

Variations d’une fonction :
Soit ff une fonction définie sur un intervalle II, et aa et bb deux réels de II tels que a<ba < b.

  • ff est dite croissante sur II lorsque, pour tous réels aa et bb de II, on a f(a)<f(b)f(a) < f(b) (quand xx augmente, f(x)f(x) augmente aussi).
  • ff est dite décroissante sur II lorsque, pour tous réels aa et bb de II, on a f(a)>f(b)f(a) > f(b) (quand xx augmente, f(x)f(x) diminue).
  • ff est dite constante sur II lorsque, pour tous réels aa et bb de II, on a f(a)=f(b)f(a) = f(b).

Extrémums d’une fonction :

  • Le minimum d’une fonction ff sur un intervalle II, s’il existe, est la plus petite image possible par ff pour xx appartenant à II.
  • Le maximum d’une fonction ff sur un intervalle II, s’il existe, est la plus grande image possible par ff pour xx appartenant à II.
bannière propriete

Propriété

Lien entre variation d’une fonction et signe de sa dérivée :

Soit ff une fonction définie et dérivable sur un intervalle II, et ff^{\prime} sa dérivée.

  • ff est croissante sur II si et seulement si, pour tout réel xx de II, f(x)0f^{\prime}(x)\geq 0.
  • ff est décroissante sur II si et seulement si, pour tout réel xx de II, f(x)0f^{\prime}(x)\leq 0.
  • ff est constante sur II si et seulement si, pour tout réel xx de II, f(x)=0f^{\prime}(x)=0.

Remarques :
L’étude des variations d’une fonction permet de déterminer ses éventuels extrémums. Pour cela, on s’intéresse aux valeurs de xx pour lesquelles la dérivée s’annule et change de signe (la variation de la fonction change alors).

bannière astuce

Astuce

Pour étudier les variations d’une fonction ff, on étudie donc le signe de sa dérivée ff^{\prime}.
On récapitule souvent les informations dans un tableau (voir exemples suivants), qui associe tableau de signes de f(x)f^{\prime}(x) et tableau de variations de ff. On indique :

  • sur une ligne, le signe de f(x)f^{\prime}(x) en fonction de xx ;
  • sur la ligne suivante, les variations correspondantes de ff.
bannière exemple

Exemple

Soit gg la fonction définie sur R\mathbb R par g(x)=2x2+12x13g(x)=\green{-2x^2}+\pink{12x}\purple{-13}.

La fonction gg est la somme des fonctions suivantes, toutes dérivables sur R\mathbb R :

  • le produit de la fonction carré par 2-2 ;
  • le produit de la fonction identité par 1212 ;
  • une fonction constante.

La fonction gg est donc dérivable sur R\mathbb R et, pour tout réel xx :
g(x)=2×2x+12×1+0=4x+12\begin{aligned} g^{\prime}(x)&=\green{-2\times 2x}+\pink{12\times 1} + \purple 0 \\ &=-4 x+12 \end{aligned}

g(x)g^{\prime}(x) est de la forme mx+pmx+p, donc la fonction dérivée gg^{\prime} est une fonction affine. On sait alors qu’elle s’annule en x=pm=124=3x=-\frac pm=-\frac{12}{-4}=3.
De plus, comme m=4m=-4 est négatif :

  • pour tout x ] ;3]x\in\ ]-\infty\ ;\, 3], g(x)0g^{\prime}(x) \geq 0,
  • donc gg est croissante sur ] ;3]]-\infty\ ;\, 3] ;
  • pour tout x[3 ;+[x\in [3\ ;\, +\infty[, g(x)0g^{\prime}(x) \leq 0,
  • donc gg est décroissante sur [3 ;+[[3\ ;\, +\infty[.

On peut calculer g(3)g(3) : g(3)=2×32+12×313=18+3613=5\begin{aligned} g(3)&=-2\times 3^2+12\times 3-13 \\ &=-18+36-13 \\ &=5 \end{aligned}

On obtient alors le tableau de variations suivant :

Tableau de variations de g Tableau de variations de g

Le tableau permet de voir que la fonction gg admet un maximum, atteint en x=3x=3 et qui vaut 55.

bannière exemple

Exemple

Soit pp la fonction définie sur R\mathbb R par :
p(x)=x3+32x2+6x3p(x)=-x^3+\dfrac 32x^2+6x-3

On a montré plus haut que, pour tout réel xx :
p(x)=3x2+3x+6p^{\prime}(x)=-3 x^2+3x+6

On peut aussi montrer que :
p(x)=3(x+1)(x2)p^{\prime}(x)=-3(x+1)(x-2) (Il suffit de développer cette seconde expression pour retrouver la première trouvée.)

Comme on connaît la forme factorisée de p(x)p^{\prime}(x), on peut étudier son signe au moyen d’un tableau de signes (en utilisant les propriétés sur le signe d’une fonction affine, comme on l’a fait dans l’exemple précédent) :

Tableau de signes de p’ Tableau de signes de p’

On calcule les images suivantes :
p(1)=(1)3+32×(1)2+6×(1)3=1+3263=8+32=132p(2)=23+32×22+6×23=8+6+123=7\begin{aligned} p(-1)&=-(-1)^3+\dfrac 32\times (-1)^2+6\times (-1)-3 \\ &=1+\dfrac 32-6-3 \\ &=-8+\dfrac 32 \\ &=-\dfrac {13}2 \\ \\ p(2)&=-2^3+\dfrac 32\times 2^2+6\times 2-3 \\ &=-8+6+12-3 \\ &=7 \end{aligned}

On peut maintenant compléter le tableau, en déduisant les variations de pp du signe de p(x)p^{\prime}(x) :

Tableau de variations de p Tableau de variations de p

En conclusion, la fonction pp est :

  • décroissante sur ] ;1]]-\infty\ ;\, -1] ;
  • croissante sur [1 ;2][-1\ ;\, 2] ;
  • de nouveau décroissante sur [2 ;+[[2\ ;\, +\infty[.

Courbe représentative de la fonction p Courbe représentative de la fonction p

Ce contenu est réservé à nos inscrits. Il reste 50% à lire.
Inscrivez-vous gratuitement pour lire la suite
Inscrivez-vous pour lire la suite et accéder à nos vidéos, quiz, exercices, méthodes… Tout ce qu’il faut pour augmenter sa moyenne. 😉