Variation globale et fonction dérivée
Introduction :
Dans le cours précédent, nous avons découvert la notion de tangente et de nombre dérivé. Dans ce nouveau cours, nous allons prolonger cette découverte en traitant les fonctions dérivées.
Après les avoir définies, nous verrons comment appliquer cette notion de dérivation à l’étude des variations d’une fonction.
Fonctions dérivées
Fonctions dérivées
Définition
Définition
Fonction dérivée :
On considère une fonction définie sur un intervalle , qui, en tout réel de , admet un nombre dérivé .
On dit alors que la fonction est dérivable sur , et sa fonction dérivée, notée , est la fonction qui associe, à tout réel de , le nombre dérivé de en .
Remarques :
- Si est dérivable sur un intervalle , alors elle est bien sûr dérivable sur tout intervalle inclus dans .
- La fonction donne donc, pour tout réel de , le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de , en son point d’abscisse .
Fonctions dérivées des fonctions de référence
Fonctions dérivées des fonctions de référence
[admise]
Le tableau ci-dessous donne les expressions des dérivées des fonctions constantes, identité, carré et cube, toutes dérivables sur :
Fonction | Fonction dérivée |
Constante : (avec ) | |
Identité : | |
Carré : | |
Cube : |
Dérivées et opérations
Dérivées et opérations
[admise]
Soit et deux fonctions dérivables sur un intervalle , et un réel.
- La fonction définie sur par est aussi dérivable sur . Pour tout réel de :
- La fonction définie sur par est aussi dérivable sur . Pour tout réel de :
Remarque :
On peut retenir ces propriétés ainsi :
- la dérivée d’une somme est égale à la somme des dérivées ;
- la dérivée du produit d’une fonction par un réel est égale au produit de la dérivée de la fonction par ce même réel.
Pour calculer la dérivée d’une fonction sur un intervalle :
- on cherche à reconnaître sous quelle forme peut s’écrire : ou , avec et des fonctions de référence (constante, identité, carré ou cube) ;
- on utilise ensuite la propriété de la dérivée d’une somme de fonctions dérivables sur , ou d’un produit d’une fonction dérivable sur par un réel, pour déterminer l’expression de .
Soit la fonction définie sur par .
En posant , on obtient .
Or, est la fonction carré, donc .
- Comme produit d’une fonction dérivable (la fonction carré) par un réel (), est dérivable sur et, pour tout réel :
On peut maintenant calculer le nombre dérivé de en n’importe quel réel. Par exemple :
- Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de en son point d’abscisse vaut donc . (Ce qui confirme ce qu’on a trouvé graphiquement dans un exemple du cours précédent.)
Coefficient directeur de la tangente et nombre dérivé
Soit la fonction définie sur par :
La fonction est la somme des fonctions suivantes, toutes dérivables sur :
- le produit de la fonction cube par ;
- le produit de la fonction carré par ;
- le produit de la fonction identité par ;
- une fonction constante.
La fonction est donc dérivable sur et, pour tout réel :
Application : étude des variations d’une fonction
Application : étude des variations d’une fonction
Variations d’une fonction :
Soit une fonction définie sur un intervalle , et et deux réels de tels que .
- est dite croissante sur lorsque, pour tous réels et de , on a (quand augmente, augmente aussi).
- est dite décroissante sur lorsque, pour tous réels et de , on a (quand augmente, diminue).
- est dite constante sur lorsque, pour tous réels et de , on a .
Extrémums d’une fonction :
- Le minimum d’une fonction sur un intervalle , s’il existe, est la plus petite image possible par pour appartenant à .
- Le maximum d’une fonction sur un intervalle , s’il existe, est la plus grande image possible par pour appartenant à .
Lien entre variation d’une fonction et signe de sa dérivée :
Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle , et sa dérivée.
- est croissante sur si et seulement si, pour tout réel de , .
- est décroissante sur si et seulement si, pour tout réel de , .
- est constante sur si et seulement si, pour tout réel de , .
Remarques :
L’étude des variations d’une fonction permet de déterminer ses éventuels extrémums. Pour cela, on s’intéresse aux valeurs de pour lesquelles la dérivée s’annule et change de signe (la variation de la fonction change alors).
Pour étudier les variations d’une fonction , on étudie donc le signe de sa dérivée .
On récapitule souvent les informations dans un tableau (voir exemples suivants), qui associe tableau de signes de et tableau de variations de . On indique :
- sur une ligne, le signe de en fonction de ;
- sur la ligne suivante, les variations correspondantes de .
Soit la fonction définie sur par .
La fonction est la somme des fonctions suivantes, toutes dérivables sur :
- le produit de la fonction carré par ;
- le produit de la fonction identité par ;
- une fonction constante.
La fonction est donc dérivable sur et, pour tout réel :
est de la forme , donc la fonction dérivée est une fonction affine. On sait alors qu’elle s’annule en .
De plus, comme est négatif :
- pour tout , ,
- donc est croissante sur ;
- pour tout , ,
- donc est décroissante sur .
On peut calculer :
On obtient alors le tableau de variations suivant :
Tableau de variations de g
Le tableau permet de voir que la fonction admet un maximum, atteint en et qui vaut .
Soit la fonction définie sur par :
On a montré plus haut que, pour tout réel :
On peut aussi montrer que :
(Il suffit de développer cette seconde expression pour retrouver la première trouvée.)
Comme on connaît la forme factorisée de , on peut étudier son signe au moyen d’un tableau de signes (en utilisant les propriétés sur le signe d’une fonction affine, comme on l’a fait dans l’exemple précédent) :
Tableau de signes de p’
On calcule les images suivantes :
On peut maintenant compléter le tableau, en déduisant les variations de du signe de :
Tableau de variations de p
En conclusion, la fonction est :
- décroissante sur ;
- croissante sur ;
- de nouveau décroissante sur .
Courbe représentative de la fonction p