Variation instantanée et nombre dérivé
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Introduction :
Nous allons, dans les deux prochains cours, découvrir une notion extrêmement importante en mathématiques, en physique-chimie et dans les sciences en général : la dérivation de fonctions, qui nous permettra d’étudier les variations d’un phénomène.
Dans ce cours, nous découvrirons plus particulièrement les définitions d’une tangente et d’un nombre dérivé, dont nous nous servirons, dans une seconde partie, pour modéliser un phénomène.
| Dans tout ce cours, $f$ désigne une fonction définie sur un intervalle $I$, et $\mathscr C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal. |
Sécante, tangente et nombre dérivé
Sécante, tangente et nombre dérivé
Sécante à une courbe
Sécante à une courbe
On considère dans cette partie deux points $A\,\big(a\ ;\, f(a)\big)$ et $B\,\big(b\ ;\, f(b)\big)$ appartenant à $\mathscr C_f$ (avec donc $a$ et $b$ appartenant à $I$).
Définition
Sécante à la courbe représentative d’une fonction :
Une sécante à la courbe $\mathscr C_f$ est une droite qui passe par (au moins) deux points distincts de la courbe.
Définition
Taux d’accroissement :
On appelle taux d’accroissement de la fonction $f$ entre $a$ et $b$ le quotient :
$$\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}$$
Remarque :
Le taux d’accroissement est aussi égal à :
$$m=\dfrac {f(a)-f(b)}{a-b}$$
Propriété
Le coefficient directeur (ou pente) $m$ de la sécante à $\mathscr C_f$ qui passe par $A$ et $B$ est égal au taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ :
$$m=\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}$$
Exemple
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=0,2x^2$, $\mathscr C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé, et $A$ et $B$ deux points de $\mathscr C_f$ d’abscisses respectives $1$ et $6$ :
Sécante à la courbe
On calcule :
$$\begin{aligned}
f(1)&=0,2\times 1^2=0,2 \\
f(6)&=0,2\times 6^2=7,2
\end{aligned}$$
Le taux d’accroissement de $f$ entre $1$ et $6$ vaut donc :
$$\begin{aligned}
\dfrac {f(6)-f(1)}{6-1}
&=\dfrac {7,2-0,2}{6-1} \\
&=\dfrac 75 \\
&=1,4
\end{aligned}$$
Le coefficient directeur de la sécante $(AB)$ est égal à $1,4$.
Tangente et nombre dérivé
Tangente et nombre dérivé
On considère dans cette partie un point $A\,\big(a\ ;\, f(a)\big)$ appartenant à $\mathscr C_f$.
On considère les courbes suivantes représentant une même fonction $f$, avec un point $M$ de $\mathscr C_f$ de plus en plus proche de $A$ (en en restant distinct) :
Différentes sécantes
Définition
Tangente à une courbe :
Quand le point $M$ s’approche de plus en plus du point $A$, les sécantes $(AM)$ semblent tendre vers une position limite.
La droite correspondant à cette position limite, ci-dessous notée $\mathcal T$, est appelée tangente à la courbe $\mathscr C_f$ au point $A$.
Approche dynamique de la tangente
Tangente à une courbe
Remarques :
Si on zoome suffisamment sur le point $A$ – on peut utiliser un logiciel de géométrie dynamique pour cela –, on se rend compte que la courbe prend l’apparence d’une droite et se confond quasiment avec la tangente en $A$.
Si elle existe, la tangente à une courbe en un point est unique – on ne s’intéressera ici qu’à des fonctions dont les courbes admettent en tout point une tangente.
Définition
Nombre dérivé d’une fonction en un réel :
On admet que $\mathscr C_f$ admet en $A$ une tangente $\mathcal T$ non parallèle à l’axe des ordonnées (non verticale).
Le coefficient directeur de $\mathcal T$ est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f^{\prime}(a)$.
Remarque :
On en déduit que :
- lorsque la tangente « monte », $f^{\prime}(a)$ est positif ;
- lorsque la tangente « descend », $f^{\prime}(a)$ est négatif ;
- lorsque la tangente est parallèle à l’axe des abscisses (horizontale), $f^{\prime}(a)$ est nul.
Exemple
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=0,2x^2$, $\mathscr C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé, et $C$ le point de $\mathscr C_f$ d’abscisse $5$.
On a représenté ci-dessous la tangente $\mathcal T$ à $\mathscr C_f$ en $C$, où on peut lire graphiquement le nombre dérivé de $f$ en $5$, car il s’agit du coefficient directeur de $\mathcal T$ :
Coefficient directeur d’une tangente et nombre dérivé
On trouve $f^{\prime}(5)=2$.
Remarque :
À notre niveau, le nombre dérivé sera souvent déterminé graphiquement, comme dans le dernier exemple, en utilisant les méthodes apprises en seconde pour déterminer le coefficient directeur d’une droite. Nous découvrirons aussi, dans le prochain cours, comment le calculer dans le cas de fonctions simples.
Modélisation d’un phénomène
Modélisation d’un phénomène
À retenir
Lorsque la fonction $f$ modélise l’évolution d’une grandeur en fonction du temps :
- le coefficient directeur de la sécante à $\mathscr C_f$ passant par les points $A\,\big(a\ ;\, f(a)\big)$ et $B\,\big(b\ ;\, f(b)\big)$ correspond à la vitesse moyenne d’évolution entre $a$ et $b$ ;
- le coefficient directeur de la tangente à $\mathscr C_f$ au point $A\,\big(a\ ;\, f(a)\big)$, soit le nombre dérivé de $f$ en $a$, correspond à la vitesse instantanée d’évolution à l’instant $t=a$.
Remarques :
- Une vitesse d’évolution négative correspond à une diminution de la grandeur.
- Plus la vitesse d’évolution est grande en valeur absolue, plus l’évolution est rapide.
Exemple
On modélise la distance $d$ (en mètre) parcourue par un objet mobile en fonction du temps $t$ (en seconde) par la fonction $d$, définie sur $[0\ ;\, 40]$ par $d(t)=0,2t^2$, dont la courbe représentative dans un repère est notée $\mathscr C$.
Coefficient directeur d’une sécante
On considère $P$ et $P^{\prime}$ les points de $\mathscr C$ d’abscisses respectives $20$ et $30$.
Sécante et vitesse moyenne
Le coefficient directeur de la sécante $(PP^{\prime})$ est égal à :
$$\begin{aligned}
m&=\dfrac {d(30)-d(20)}{30-20} \\
&=\dfrac {180-80}{10} \\
&=\dfrac {\green{100}}{\purple{10}}=10
\end{aligned}$$
- Le coefficient directeur de la sécante $(PP^{\prime})$ correspond à la vitesse moyenne, en mètre par seconde, du mobile entre les instants $t=20$ et $t=30$.
Elle vaut $10\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}$ (soit $36\ \text{km}\cdot \text{h}^{-1}$).
Remarque :
$\green{100}$ correspond à la distance parcourue et $\purple{10}$ à la durée du parcours.
Le coefficient directeur de $(PP^{\prime})$, $m=\frac {\green{100}}{\purple{10}}$, est donc égal au quotient de la distance parcourue entre les instants $t=20$ et $t=30$, sur la durée mise pour parcourir cette distance. On reconnaît alors bien la formule pour calculer une vitesse moyenne.
Nombre dérivé
On a tracé ci-dessous la tangente à la courbe $\mathscr C$ en $P$ :
Tangente et vitesse instantanée
On détermine maintenant le coefficient directeur de la tangente $\mathcal T$, en cherchant un point de $\mathcal T$ distinct de $P$, dont les coordonnées sont bien lisibles et permettent des calculs simples.
On voit par exemple que $\mathcal T$ passe par le point de coordonnées $(10\ ;\, 0)$ :
Coefficient directeur de la tangente
On peut maintenant calculer le nombre dérivé de $f$ en $t=20$, égal au coefficient directeur de $\mathcal T$ :
$$f^{\prime}(20)=\dfrac {80-0}{20-10}=8$$
- La vitesse instantanée du mobile à l’instant $t=20\ \text{s}$ est de $8\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}$ (soit $28,8\ \text{km}\cdot \text{h}^{-1}$).