Cours : Proportionnalité : échelles et ratios

Prérequis :

• cours de 5^e sur les fractions.
• cours de 5^e sur la proportionnalité.

Échelle

Définition

On dit qu'une reproduction (plan, carte, maquette, photo…) est à l'échelle lorsque toutes les dimensions sur la reproduction sont proportionnelles aux dimensions réelles.

Définition

Échelle :

L'échelle d'une reproduction est le coefficient de proportionnalité qui permet de passer des dimensions réelles aux dimensions sur la reproduction.

C'est donc le quotient $\frac{\text{dimension sur la reproduction}}{\text{dimension réelle}}$, les dimensions étant exprimées dans la même unité.

On peut l’illustrer de la manière suivante dans un tableau de proportionnalité :

À retenir

Une échelle s'exprime généralement sous la forme d'une fraction :

• de numérateur $1$ pour une réduction ;
• de dénominateur $1$ pour un agrandissement (pour un objet microscopique, par exemple).

Exemple

• Sur une carte à l'échelle $\frac{1}{250\ 000}$ (on écrit aussi $1/250\ 000$) :
• $1\text{ cm}$ sur la carte représente $1\times 250\ 000\text{ cm}$ dans la réalité (soit $2\ 500\text{ m}$ ou $2,5\text{ km}$),
• $1\text{ km}$ dans la réalité ($100\ 000\text{ cm}$) est représenté par $100\ 000 \times \frac{1}{250\ 000}\text{ cm}$ sur la carte, soit $0,4\text{ cm}$ (ou $4\text{ mm}$).

• Sur une photo à l'échelle $\frac{2\ 000}1$ (on écrit aussi $2\ 000/1$) :
• $1\text{ cm}$ sur la photo représente $1 \times \frac{1}{2\ 000}\text{ cm}$ dans la réalité, soit $0,0005\text{ cm}$ (ou $0,005\text{ mm}$ ou $5\ \mu\text{m}$),
• $20\ \mu\text{m}$ dans la réalité ($0,002\text{ cm}$) sont représentés par $0,002 \times 2\ 000\text{ cm}$ sur la photo, soit $4\text{ cm}$.

Applications

Utiliser l'échelle d'une reproduction pour calculer une longueur ou une distance

• Antoine collectionne les maquettes d'avion. La plus grande de ses maquettes est une reproduction à l'échelle $1/80$ d'un avion qui mesure en réalité $37\text{ m}$ de long.
  Combien mesure cette maquette ?

$37\ \text{m}$ dans la réalité ($3\ 700\text{ cm}$) sont représentés par $3\ 700 \times \frac{1}{80}\text{ cm}$ sur la maquette, soit $46,25\text{ cm}$.

• La plus grande maquette d'Antoine mesure $46,25\text{ cm}$ de long.
• Cette maquette mesure $12\text{ cm}$ de haut.
  Quelle est la hauteur de l'avion « grandeur nature » ?

$12\text{ cm}$ sur la maquette représentent $12 \times 80\text{ cm}$ dans la réalité, soit $960\text{ cm}$ ou $9,6\text{ m}$.

• Dans la réalité, cet avion a une hauteur de $9,6\text{ m}$.

Voici le tableau de proportionnalité que nous aurions pu construire pour nous aider à effectuer nos calculs.
Attention, toutes les dimensions sont à entrer dans la même unité !

• Sur le plan touristique d'une ville à l'échelle $1/5\ 000$, deux monuments sont distants de $8\text{ cm}$ (à vol d'oiseau). Deux amies s'interrogent sur la distance réelle séparant les deux monuments. Émilie dit : « Je dirais au moins $400\text{ m}$ », Claire répond : « Pas du tout, à peine $200\text{ m}$ et on y est ! ».
  Laquelle des deux amies a raison ?

$8\text{ cm}$ sur le plan représentent $8 \times 5\ 000\text{ cm}$ dans la réalité, soit $40\ 000\text{ cm}$, soit $400\text{ m}$.

• C'est Émilie qui a raison car la distance réelle à parcourir serait déjà de $400\text{ m}$ à vol d'oiseau.

Déterminer l'échelle d'une reproduction

• Sur un dépliant de la ville de Paris, une photographie de la tour Eiffel mesure $6\text{ cm}$. Cette dernière mesure en réalité $300\text{ m}$.
  Quelle est l'échelle de la photographie ?

$6\text{ cm}$ sur la photographie représentent $300\text{ m}$ dans la réalité, soit $30\ 000\text{ cm}$.

Donc $1\text{ cm}$ dans la réalité est représenté par $\frac{6}{30\,000}\text{ cm}$ sur la photographie.

$$\frac{6}{30\ 000} = \frac{6\times 1}{6\times 5\ 000} = \frac{1}{5\,000}$$

• L'échelle de la photographie est $1/5\,000$.

• Pour un exposé, un élève a dessiné une abeille de $21\text{ cm}$ de long.
  Sachant qu'en réalité une abeille mesure en moyenne $15\text{ mm}$, quelle est l'échelle de son dessin ?

$21\text{ cm}$ sur le dessin représentent $15\text{ mm}$ dans la réalité, soit $1,5\text{ cm}$.

Donc $1\text{ cm}$ dans la réalité est représenté par $\frac{21}{1,5} = 14\text{ cm}$ sur le dessin.

• L'échelle du dessin est $14/1$.

Ratio

Vous avez déjà rencontré, dans des problèmes du quotidien, la notion de ratio : dans une recette de cuisine, pour indiquer les mesures des différents ingrédients les unes par rapport aux autres ; dans le descriptif de votre écran de téléphone, d’ordinateur ou de télévision…
Cette partie va nous donner la définition mathématique des ratios et nous montrer comment les interpréter.

Ratio de deux grandeurs

Un petit paquet de bonbons contient $ \textcolor{#FF0000}2$ bonbons à la fraise et $\textcolor{#3CB371}3$ bonbons à la menthe :

Le paquet contient donc, au total, $ \textcolor{#FF0000}2+ \textcolor{#3CB371}3= \textcolor{#800080}5$ bonbons.
Nous connaissons la notion de proportion, que nous utilisons pour comparer la quantité de bonbons à la fraise, ou celle de bonbons à la menthe, par rapport à la quantité totale et que nous pouvons exprimer sous la forme de fraction :

• sur $\textcolor{#800080}5$ bonbons, $ \textcolor{#FF0000}2$ sont à la fraise,
• $\frac { \textcolor{#FF0000}2}{ \textcolor{#800080}5}$ des bonbons sont à la fraise ;
• sur $\textcolor{#800080}5$ bonbons, $ \textcolor{#3CB371}3$ sont à la menthe,
• $\frac { \textcolor{#3CB371}3}{ \textcolor{#800080}5}$ des bonbons sont à la menthe.

Mais nous pouvons aussi comparer la quantité de bonbons à la fraise par rapport à celle de bonbons à la menthe : pour $ \textcolor{#FF0000}2$ bonbons à la fraise, il y a $\textcolor{#3CB371}3$ bonbons à la menthe.

• On dit que le nombre de bonbons à la fraise et celui de bonbons à la menthe sont dans le ratio $\textcolor{#FF0000}2:\textcolor{#3CB371}3$ (on dit : « deux pour trois »).
• On peut aussi dire que le nombre de bonbons à la menthe et celui de bonbons à la fraise sont dans le ratio $\textcolor{#3CB371}3: \textcolor{#FF0000}2$.
• Attention, l’ordre est important !

Lucie possède $\blue 4$ de ces paquets de bonbons.
Elle a donc $\textcolor{#800080}5\times \blue 4= \textcolor{#800080}{20}$ bonbons au total, répartis ainsi :

• $\textcolor{#FF0000}2\times \blue 4=\textcolor{#FF0000}8$ bonbons à la fraise ;
• $\textcolor{#3CB371}3\times \blue 4=\textcolor{#3CB371}{12}$ bonbons à la menthe.

Il y a donc $\textcolor{#FF0000}8$ bonbons à la fraise pour $\textcolor{#3CB371}{12}$ bonbons à la menthe. Nous pouvons donc dire que le nombre de bonbons à la fraise et celui de bonbons à la menthe sont dans le ratio $\textcolor{#FF0000}8:\textcolor{#3CB371}{12}$.
Mais, nous le comprenons facilement dans cet exemple, cela revient à dire qu’il y a $\textcolor{#FF0000}2$ bonbons à la fraise pour $\textcolor{#3CB371}3$ bonbons à la menthe, ce qui est plus facile à se représenter.

• Le nombre de bonbons à la fraise et celui de bonbons à la menthe sont dans le ratio $\textcolor{#FF0000}2:\textcolor{#3CB371}3$.

Nous avons aussi :

$$\textcolor{#FF0000}{\dfrac 82}=\textcolor{#3CB371}{\dfrac {12}3}=\blue 4$$

Nous pouvons donner maintenant donner la définition mathématique d’un ratio.

Définition

Ratio de deux grandeurs :

Soit $a$, $b$, $m$ et $n$ quatre nombres positifs.
Les nombres $\textcolor{#FF0000}a$ et $\textcolor{#3CB371}b$ sont dans le ratio $\textcolor{#FF0000}m:\textcolor{#3CB371}n$ si :

$$\textcolor{#FF0000}{\dfrac am}=\textcolor{#3CB371}{\dfrac bn}$$

Propriété

Soit $a$, $b$, $m$ et $n$ quatre nombres positifs.
Si les nombres $\textcolor{#FF0000}a$ et $\textcolor{#3CB371}b$ sont dans le ratio $\textcolor{#FF0000}m: \textcolor{#3CB371}n$, alors :

$$\begin{aligned} \textcolor{#FF0000}a&=\dfrac {\textcolor{#FF0000}m}{\textcolor{#FF0000}m+\textcolor{#3CB371}n}\times \textcolor{#800080} {(a+b)} \\ \\ \textcolor{#3CB371}b&=\dfrac {\textcolor{#3CB371}n} {\textcolor{#FF0000}m+\textcolor{#3CB371}n}\times \textcolor{#800080} {(a+b)} \end{aligned}$$

• $\textcolor{#800080} {(a+b)}$ est alors la quantité totale.

La maman de Lucie lui donne $2$ paquets de bonbons en plus des $4$ qu’elle a déjà.
Elle a désormais $6$ paquets, avec $5\times 6= \textcolor{#800080}{30}$ bonbons au total, répartis entre fraise et menthe toujours selon le ratio $\textcolor{#FF0000}2: \textcolor{#3CB371}3$.

• Le nombre $\textcolor{#FF0000}a$ de bonbons à la fraise est égal à :

$$\textcolor{#FF0000}a=\dfrac {\textcolor{#FF0000}2}{\textcolor{#FF0000}2+\textcolor{#3CB371}3}\times \textcolor{#800080}{30}=\dfrac 25\times 30$$

Cela revient donc à calculer la fraction d’un nombre. Nous choisissons ici la technique de « déplacement » du dénominateur (car $30$ est divisible par $5$) :

$$\begin{aligned} \textcolor{#FF0000}a&=\dfrac 25\times 30 \\ &=2\times \dfrac {30}5 \\ &=2\times 6 \\ &=\textcolor{#FF0000}{12} \end{aligned}$$

• Le nombre $\textcolor{#3CB371}b$ de bonbons à la menthe est égal à :

$$\begin{aligned} \textcolor{#3CB371}b&=\dfrac {\textcolor{#3CB371}3}{\textcolor{#FF0000}2+\textcolor{#3CB371}3}\times \textcolor{#800080}{30} \\ &=\dfrac 35\times 30 \\ &=3\times \dfrac {30}5 \\ &=3\times 6 \\ &=\textcolor{#3CB371}{18} \end{aligned}$$

Astuce

Connaissant le nombre total de bonbons ($\textcolor{#800080}{30}$) et celui de bonbons à la fraise ($\textcolor{#FF0000}{12}$), nous aurions aussi pu calculer le nombre $\textcolor{#3CB371}b$ de bonbons à la menthe de façon plus directe :

$$\textcolor{#3CB371}b=\textcolor{#800080}{30}-\textcolor{#FF0000}{12}=\textcolor{#3CB371}{18}$$

Nous l’avons compris : tout comme les proportions, les ratios traduisent des situations de proportionnalité.
Et nous pouvons donner aussi cette propriété, très utile lorsqu’on travaille sur le ratio de deux grandeurs.

Propriété

Soit $a$, $b$, $m$ et $n$ quatre nombres positifs.
Si les nombres $\textcolor{#FF0000}a$ et $\textcolor{#3CB371}b$ sont dans le ratio $\textcolor{#FF0000}m: \textcolor{#3CB371}n$, alors le tableau suivant est un tableau de proportionnalité :

$\textcolor{#FF0000}a$	$\textcolor{#FF0000}m$
$\textcolor{#3CB371}b$	$\textcolor{#3CB371}n$

Nous avons alors l’égalité de fractions :

$$\dfrac {\textcolor{#FF0000}a}{\textcolor{#3CB371}b}=\dfrac {\textcolor{#FF0000}m}{\textcolor{#3CB371}n}$$

Exemple

Le format $\textcolor{#FF0000}{16}:\textcolor{#3CB371}{9}$ indique le format d’une image, et souvent aussi d’un écran de télévision ou d’ordinateur. L’image est alors un rectangle tel que sa longueur mesure $\textcolor{#FF0000}{16\ \text{unités}}$ pour une largeur de $\textcolor{#3CB371} {9\ \text{unités}}$.
Autrement dit, la longueur et la largeur du rectangle sont dans un ratio de $\textcolor{#FF0000}{16}:\textcolor{#3CB371}9$.
Ou encore : sa longueur mesure $\frac {\textcolor{#FF0000}{16}}{\textcolor{#3CB371}9}$ (seize neuvièmes) de sa largeur.

• L’on comprend alors la notation courante que l’on voit, avec une barre de division : « $16 / 9$ ».

Linda a imprimé une photographie en grand, qui a alors pour dimensions : $32\ \text{cm}$ de longueur et $18\ \text{cm}$ de largeur.
L’image est-elle au format $16:9$ ?

• Première méthode

Calculons les seize neuvièmes de la largeur :

$$\begin{aligned} \dfrac {16}9\times 18&=16\times \dfrac{18}9 \\ &=16\times 2 \\ &=32 \end{aligned}$$

Nous retrouvons bien la longueur de $32\ \text{cm}$.

• La photo est bien au format $16:9$.
• Deuxième méthode

Nous voyons très rapidement que $\frac {32}{18}$ et $\frac {16}9$ sont des fractions égales. En effet :

$$\dfrac{32}{18}=\dfrac{32\div 2}{18\div 2}=\dfrac {16}9$$

D’après la dernière propriété que nous avons vue, la longueur et la largeur sont bien dans un ratio de $16:9$.

• La photo est bien au format $16:9$.

Ratio de trois grandeurs

Ce que nous avons dit pour deux grandeurs est aussi valable pour trois grandeurs.

Définition

Ratio de trois grandeurs :

Soit $a$, $b$, $c$, $m$, $n$ et $p$ six nombres positifs.
Les nombres $\textcolor{#FF0000}a$, $\textcolor{#3CB371}b$ et $ \textcolor{#B22222}c$ sont dans le ratio $\textcolor{#FF0000}m:\textcolor{#3CB371}n:\textcolor{#B22222}p$ si :

$$\textcolor{#FF0000}{\dfrac am}=\textcolor{#3CB371}{\dfrac bn}= \textcolor{#B22222}{\dfrac cp}$$

Pour résoudre les exercices, nous pouvons utiliser une propriété équivalente à celle que nous avons vue pour deux grandeurs.

Propriété

Soit $a$, $b$, $c$, $m$, $n$ et $p$ six nombres positifs.
Si les nombres $\textcolor{#FF0000}a$, $\textcolor{#3CB371}b$ et $\textcolor{#B22222}c$ sont dans le ratio $\textcolor{#FF0000}m: \textcolor{#3CB371}n: \textcolor{#B22222}p$, alors :

$$\begin{aligned} \textcolor{#FF0000}a&=\dfrac {\textcolor{#FF0000}m}{\textcolor{#FF0000}m+\textcolor{#3CB371}n+\textcolor{#B22222}p}\times \textcolor{#800080} {(a+b+c)} \\ \\ \textcolor{#3CB371}b&=\dfrac {\textcolor{#3CB371}n} {\textcolor{#FF0000}m+\textcolor{#3CB371}n+\textcolor{#B22222}p}\times \textcolor{#800080} {(a+b+c)} \\ \\ \textcolor{#B22222}c&=\dfrac {\textcolor{#B22222}p}{\textcolor{#FF0000}m+\textcolor{#3CB371}n+\textcolor{#B22222}p}\times \textcolor{#800080} {(a+b+c)} \end{aligned}$$

• $\textcolor{#800080} {(a+b+c)}$ est alors la quantité totale.

Exemple

Rym, avec deux amis, Ismaël et Louis, a cueilli dans son jardin $36\ \text{kg}$ de pommes. Elle a commencé avant eux, et Louis est arrivé après Ismaël. Ainsi :

• Louis a travaillé pendant $\textcolor{#FF0000}{20\ \text{min}}$ ;
• Ismaël a travaillé pendant $\textcolor{#3CB371}{30\ \text{min}}$ ;
• Rym a travaillé pendant $\textcolor{#B22222}{40\ \text{min}}$.

Ils ont décidé, pour être équitables, de se partager la récolte selon le temps passé. La masse de pommes sera donc répartie entre Louis, Ismaël et Rym selon le ratio $\textcolor{#FF0000}{20}:\textcolor{#3CB371}{30}:\textcolor{#B22222}{40}$, qu’on peut simplifier facilement en $\textcolor{#FF0000}{2}:\textcolor{#3CB371}{3}:\textcolor{#B22222}{4}$.

Utilisons la propriété que nous avons donnée :

$$\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{Louis\ :}\quad} \dfrac {\textcolor{#FF0000}2}{\textcolor{#FF0000}2+\textcolor{#3CB371}3+\textcolor{#B22222}4} \times \textcolor{#800080} {36} &=\dfrac 29\times 36 \\ &=2\times \dfrac{36}9 \\ &=2\times 4 \\ &=\textcolor{#FF0000}{8\ \text{kg}} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Ismaël\ :}\quad} \dfrac {\textcolor{#3CB371}3}{\textcolor{#FF0000}2+\textcolor{#3CB371}3+\textcolor{#B22222}4} \times \textcolor{#800080} {36} &=\dfrac 39\times 36 \\ &=3\times \dfrac{36}9 \\ &=3\times 4 \\ &=\textcolor{#3CB371}{12\ \text{kg}} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Rym\ :}\quad} \dfrac {\textcolor{#B22222}4}{\textcolor{#FF0000}2+\textcolor{#3CB371}3+\textcolor{#B22222}4} \times \textcolor{#800080} {36} &=\dfrac 49\times 36 \\ &=4\times \dfrac{36}9 \\ &=4\times 4 \\ &=\textcolor{#B22222}{16\ \text{kg}} \end{aligned}$$

Nous retrouvons bien : $\textcolor{#FF0000}8+\textcolor{#3CB371}{12}+\textcolor{#B22222}{16}=\textcolor {#800080} {36}$.
Et nous avons bien :

$$\textcolor{#FF0000}{\dfrac 82}=\textcolor{#3CB371}{\dfrac {12}3}= \textcolor{#B22222}{\dfrac {16}4}=\blue 4$$

Astuce

Rym et ses amis peuvent aussi se partager de manière progressive la récolte selon le ratio $\textcolor{#FF0000}{2}:\textcolor{#3CB371}{3}:\textcolor{#B22222}{4}$. Ils effectuent alors le partage en plusieurs tours successifs, où, à chaque tour :

• Louis reçoit $\textcolor{#FF0000}{2\ \text{kg}}$ de pommes ;
• Ismaël en reçoit $\textcolor{#3CB371}{3\ \text{kg}}$ ;
• et Rym en reçoit $\textcolor{#B22222}{4\ \text{kg}}$.
• $ \textcolor{#FF0000}2+ \textcolor{#3CB371}3+ \textcolor{#B22222}4= \textcolor{#800080}{9\ \text{kg}}$ sont ainsi distribués à chaque tour, jusqu’à épuisement des $\textcolor {#800080} {36\ \text{kg}}$ récoltés.

Le tableau suivant récapitule les tours successifs de cette répartition progressive :

	Louis	Ismaël	Rym	Total restant
Tour $1$	$\footnotesize \textcolor{#FF0000}{2\ \text{kg}}$	$\footnotesize \textcolor{#3CB371}{3\ \text{kg}}$	$\footnotesize \textcolor{#B22222}{4\ \text{kg}}$	$\footnotesize \textcolor{#800080}{36-9=27\ \text{kg}}$
Tour $2$	$\footnotesize \textcolor{#FF0000}{2+2=4\ \text{kg}}$	$\footnotesize \textcolor{#3CB371}{3+3=6\ \text{kg}}$	$\footnotesize \textcolor{#B22222}{4+4=8\ \text{kg}}$	$\footnotesize \textcolor{#800080}{27-9=18\ \text{kg}}$
Tour $3$	$\footnotesize \textcolor{#FF0000}{4+2=6\ \text{kg}}$	$\footnotesize \textcolor{#3CB371}{6+3=9\ \text{kg}}$	$\footnotesize \textcolor{#B22222}{8+4=12\ \text{kg}}$	$\footnotesize \textcolor{#800080}{18-9=9\ \text{kg}}$
Tour $4$	$\footnotesize \textcolor{#FF0000}{6+2=8\ \text{kg}}$	$\footnotesize \textcolor{#3CB371}{9+3=12\ \text{kg}}$	$\footnotesize \textcolor{#B22222}{12+4=16\ \text{kg}}$	$\footnotesize \textcolor{#800080}{9-9=0\ \text{kg}}$

• Nous retrouvons bien, après $\blue 4$ tours, la répartition déterminée plus haut.